Analise
a seguinte sequência: 1, 4, 7, 10, 13, ... É verdade que
(A)
essa sequência é formada por múltiplos de 3.
(B)
nenhum número dessa sequência tem 8 como o algarismo das unidades.
(C)
essa sequência é uma progressão geométrica de razão 3.
(D)
o quadragésimo quinto número dessa sequência é 133.
(E)
a soma dos dez primeiros números dessa sequência é 125.
Solução: (D)
Aplicando
o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão
do Problema
Analisando
a sequência podemos observar que temos uma sequência crescente e que:
1,
4, 7, 10, 13, ... = 0 + 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... =
E
que:
0
+ 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... = (3 · 0) + 1, (3 · 1) + 1, (3 · 2) +
1, (3 · 3) + 1, (3 · 4)
+ 1, ...
Seja
an
um termo qualquer desta sequência, onde n = {1, 2, 3, 4, 5}, obtemos a seguinte
lei de formação:
an = [3 · (n – 1)] + 1 ou an = 3 · n – 2
2° –
Estabelecimento de um Plano
Analisar
cada alternativa.
3° – Execução do
Plano
(A)
essa sequência é formada por múltiplos de 3 → Falso.
Na
verdade parcialmente falsa, a sequencia é gerada somando-se uma unidade aos
múltiplos de 3.
(B)
nenhum número dessa sequência tem 8 como o algarismo das unidades → Falso.
Observando
os múltiplos de 3 obtemos: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...
Logo
para n = 10, temos a10 = 3 · 10 – 2 = 30 – 2= 28
(C)
essa sequência é uma progressão geométrica de razão 3 → Falso.
Analisando
a lei de formação da sequência podemos notar que não se trata de uma P.G.
(Progressão Geométrica).
Seja
q
a razão da P.G. que é uma constante da qual será determinado todos os termos da
progressão.
A
razão da P.G. é calculada fazendo a divisão de qualquer termo, exceto o 1º
termo, pelo termo anterior, ou seja:
q = an / an – 1
q = a2 / a1 = 4 / 1 = 4
q = a3 / a2 = 7 / 4
Como
o valor de q não é constante esta
sequência não é uma P.G.
(D)
o quadragésimo quinto número dessa sequência é 133 → Verdadeiro.
Para
n = 45, segundo a lei de formação
temos:
a45 = 3 · 45 – 2= 135
– 2 = 133
(E)
a soma dos dez primeiros números dessa sequência é 125 → Falso.
Os
dez primeiros termos dessa sequência são: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28.
Soma
= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 145
4° – Avaliação
O
mais relevante a esta questão está no fato de que inicialmente a análise
1,
4, 7, 10, 13, ... = 0 + 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... =
E
que:
0
+ 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... = (3 · 0) + 1, (3 · 1) + 1, (3 · 2) + 1,
(3 · 3) + 1, (3 · 4) + 1, ...
Pode levar ao erro de se considerar (3 · n) + 1 como lei de formação da sequência, onde n = {0, 1, 2, 3, ...}.
Entretanto
em sua definição uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto {1, 2, 3,
... , n, ...) de todos os números inteiros positivos.
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