Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 44 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Para determinar a altura de um prédio, um estudante, que estava sem instrumento de medida de comprimento, e com ajuda de um instrumento que ele construiu, mediu de forma aproximada o ângulo de elevação do prédio a partir de A, obtendo 45°. Em seguida, caminhou até B, que ele sabia que estava distante 50 m de A e mediu novamente o ângulo de elevação, obtendo 30°. A figura a seguir representa essa situação.




Para o cálculo da altura, o estudante utilizou tg 30º ≈ 0,6 e tg 45º ≈ 1.

Assim, a altura aproximada do prédio é

(A) 48 m.
(B) 60 m.
(C) 75 m.
(D) 84 m.
(E) 93 m.

Solução: (C)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Segundo a imagem do enunciado temos dois triângulos retângulos que compartilham um mesmo cateto que representa a altura (h) do edifício.

A Figura 1 mostra uma reconstrução da imagem do enunciado para auxiliar na interpretação da questão.
  
Figura 1: Figura baseado pelos dados do enunciado.

Considerando o ponto C como a base do edifício então o segmento CD representa a altura do edifício, logo CD = h. O segmento BA mede 50 m e consideremos d como a medida entre o ponto A e o ponto C, logo AC = d.

O triângulo ACD é um triângulo isóscele e retângulo (reto em C) então apresenta catetos com as medidas congruentes e, portanto AC ≡ CD, logo d = h.

2° – Estabelecimento de um Plano

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a este ângulo.

Considerando o ângulo de 30º temos:

tg 30º = h / (50 + d)

tg 30º = h / (50 + h)
                                             
3° – Execução do Plano

Resolvendo temos:

tg 30º = h / (50 + h)

tg 30º = 0,6

0,6 = h / (50 + h) → 0,6 · (50 + h) = h

30 + 0,6 · h = h → 30 = h – 0,6 · h → h = 30 / 0,4 = 75 m

4° – Avaliação

Questão clássica no estudo da trigonometria infelizmente nem sempre se utiliza ângulos notáveis nos cálculos, e menos ainda ao ângulo de 45º.

Com uma variedade de combinações de valores, uma forma geral de resolução é obtida por meio de um sistema de equações. Partindo da Figura 2 temos:

Figura 2: Esquema geral de um problema semelhante ao do enunciado. 
 
No ΔACD:

tg α = CD / AC → tg α = CD / (AB + BC) → CD = tg α · (AB + BC)

No ΔBCD:

tg β = CD / BC → CD = tg β · BC

Considerando a igualdade:

tg α · (AB + BC) = tg β · BC

Obtendo assim o comprimento do segmento AB ou do segmento BC. Substituindo este valor nas equações acima obtemos CD ou seja a altura do edifício.
 
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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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