Questão 44 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Para determinar a altura de um prédio, um estudante, que estava sem instrumento de medida de comprimento, e com ajuda de um instrumento que ele construiu, mediu de forma aproximada o ângulo de elevação do prédio a partir de A, obtendo 45°. Em seguida, caminhou até B, que ele sabia que estava distante 50 m de A e mediu novamente o ângulo de elevação, obtendo 30°. A figura a seguir representa essa situação.

Para o cálculo da altura, o estudante utilizou tg 30º ≈ 0,6 e tg 45º ≈ 1.

Assim, a altura aproximada do prédio é

(A) 48 m.

(B) 60 m.

(C) 75 m.

(D) 84 m.

(E) 93 m.

Solução: (C)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Segundo a imagem do enunciado temos dois triângulos retângulos que compartilham um mesmo cateto que representa a altura (h) do edifício.

A Figura 1 mostra uma reconstrução da imagem do enunciado para auxiliar na interpretação da questão.

  

Figura 1: Figura baseado pelos dados do enunciado.

Considerando o ponto C como a base do edifício então o segmento CD representa a altura do edifício, logo CD = h. O segmento BA mede 50 m e consideremos d como a medida entre o ponto A e o ponto C, logo AC = d.

O triângulo ACD é um triângulo isóscele e retângulo (reto em C) então apresenta catetos com as medidas congruentes e, portanto AC ≡ CD, logo d = h.

2° – Estabelecimento de um Plano

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a este ângulo.

Considerando o ângulo de 30º temos:

tg 30º = h / (50 + d)

tg 30º = h / (50 + h)

                                             

3° – Execução do Plano

Resolvendo temos:

tg 30º = h / (50 + h)

tg 30º = 0,6

0,6 = h / (50 + h) → 0,6 · (50 + h) = h

30 + 0,6 · h = h → 30 = h – 0,6 · h → h = 30 / 0,4 = 75 m

4° – Avaliação

Questão clássica no estudo da trigonometria infelizmente nem sempre se utiliza ângulos notáveis nos cálculos, e menos ainda ao ângulo de 45º.

Com uma variedade de combinações de valores, uma forma geral de resolução é obtida por meio de um sistema de equações. Partindo da Figura 2 temos:

Figura 2: Esquema geral de um problema semelhante ao do enunciado.

 

 

No Δ_ACD:

tg α = CD / AC → tg α = CD / (AB + BC) → CD = tg α · (AB + BC)

No Δ_BCD:

tg β = CD / BC → CD = tg β · BC

Considerando a igualdade:

tg α · (AB + BC) = tg β · BC

Obtendo assim o comprimento do segmento AB ou do segmento BC. Substituindo este valor nas equações acima obtemos CD ou seja a altura do edifício.