Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 42 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

A figura representa um quadrado formado por cinco polígonos: um quadrado e quatro triângulos retângulos. Esses triângulos são congruentes, cujos catetos medem a (cateto maior) e b (cateto menor) e a hipotenusa mede c.


A área da região quadrada destacada na figura é igual a

(A) c2 – (a + b)2
(B) c2 – a2 – b2
(C) (c – a)2 + b2
(D) a2 – 2ab + b2
(E) a2 – b2

Solução: (D)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Inicialmente consideremos a parte indicada na Figura 1 como sendo um erro construtivo na imagem do enunciado.
 
Figura 1: Erro construtivo na imagem do enunciado.

Na Figura 2 indicamos os pontos por letras, devemos determinar uma expressão que representa a área do quadro EFGH.
 
Figura 2: Indicação dos pontos.

Podemos observar que temos quatro triângulos retângulos congruentes: ΔAFB; ΔBGC; ΔCHD, e; ΔDEA. Lados congruentes destes triângulos formam um quadrado ABCD.

Observe o triângulo retângulo ΔAFB é retângulo em F (ou seja, o ângulo F mede 90º), então o lado AB é a hipotenusa do triângulo, cuja medida é c, o lado BF é o cateto menor, cuja medida é b e o lado AF é o cateto maior, cuja medida é a (vide Figura 3).

Figura 3: Indicação dos lados dos triângulos.

Conforme a Figura 4, considerando x o lado do quadrado destacado na figura, a área quadrada (AQ) é igual a x2, temos também que AF = AE + EF → EF = AF – AE e que AF = a e AE = b, então EF = ab, ou seja, x = ab.

Figura 4: Figura completa após analise.
 
2° – Estabelecimento de um Plano

Utilizando os dados analisados do enunciado determinamos a área quadrada AQ.
                                             
3° – Execução do Plano

AQ = x2

AQ = (ab)2

AQ = (ab)2 = a2 – 2 · a · b + b2

AQ = a2 – 2 · a · b + b2

4° – Avaliação

A área AQ pode ser obtida subtraindo as áreas dos quatro triângulos retângulos do quadrado ABCD (AABCD), sendo os quatro triângulos congruentes, temos então:

AQ = AABCD4 · AΔAFB

AQ = c24 · [(a · b) / 2]

AQ = c22 · a · b

Observe que aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos da Figura 2, obtemos a relação:

c2 = a2 + b2

Então, substituindo c2 em AQ = c22 · a · b

AQ = a2 + b2 – 2 · a · bAQ = a2 – 2 · a · b + b2

***

Quem gosta de estudar geometria (assim como eu) pode reconhecer a figura do enunciado, principalmente se já leu o livro “The Pythagorean Proposition” de Elisha S. Loomis.

No seu livro Loomis reuniu diversas formas de provar o Teorema de Pitágoras. Na segunda edição do livro, de 1972, na página 49, temos a Figura 32 representando a 34º prova algébrica do teorema, proposta pelo Rev. J. G. Excell (em 1.928), R. A. Bell (em 1.931) e Dr. W. Leitzmann (em 1.930).

Na Figura 5, temos a imagem da prova realizada.

Figura 5: Prova do Teorema de Pitágoras No Livro de Elisha S. Loomis.
 
Consideremos BH = x, e HF = y, então AH = x + y. A sacada está na igualdade AC2 = 4 · AΔABH + HE2; onde AC2 é a área do quadrado ABCD; AΔABH é a área do triângulo ABH e HE2 é a área do quadrado EFGH.
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