Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 41 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Os pares ordenados (0, 0) e (1, 3) pertencem ao gráfico de uma função polinomial do 2.º grau. O máximo dessa função tem abscissa x = 2. Logo, o valor da função no ponto de abscissa x = –1 é

(A) 5.
(B) 4.
(C) 0.
(D) –4.
(E) –5.

Solução: (E)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Determinar a o valor de f (– 1) de uma função do segundo grau [f (x) = a · x2 + b · x + c ] que possui os pontos P1 = (0, 0) e P2 = (1, 3).

Como a função apresenta um valor de máximo (a < 0) então a concavidade da parábola está voltada para baixo, logo f (x) = – a · x2 + b · x + c.

Temos a abscissa do vértice da parábola: xv = 2.

2° – Estabelecimento de um Plano

Utilizar os dados do enunciado para obter a função e calcular f (– 1).
                                             
3° – Execução do Plano

f (x) = – a · x2 + b · x + c

Para o ponto P1 = (0, 0), temos (0) = 0:

0 = – a · 02 + b · 0 + c → c = 0

f (x) = – a · x2 + b · x + c → f (x) = – a · x2 + b · x + 0 → f (x) = – a · x2 + b · x

Para o ponto P2 = (1, 3), temos (1) = 3:

3 = – a · 12 + b · 1 → – a + b = 3

Sabemos que no vértice da parábola: xv = 2.

xv = – b / [2 · (– a)] → 2 = – b / [2 · (– a)]  → – 4 · a + b = 0

Resolvendo o sistema de equações:

– a + b = 3
– 4 · a + b = 0

a = 1

b = 4

Então a função do enunciado se refere a f (x) = – x2 + 4 · x. Calculando f (– 1).

f (– 1).= – (– 1).2 + 4 · (– 1) = – 1 – 4 = – 5

4° – Avaliação

Questão envolvendo o estudo equação / função do segundo grau.

Outra forma de encontrar f (x) é observar que 0 é uma das raízes da função, visto que P1 = (0, 0) → (0) = 0.

Sendo xv = 2 a abscissa do vértice então a outra raiz é 4, visto que pelo vértice passa uma linha perpendicular ao eixo das abscissas denominada eixo de simetria que divide a parábola em duas partes iguais.

As raízes da equação do segundo grau estão à mesma distância do eixo de simetria. A função f (x) = – a · x2 + b · x + c tem como forma fatorada f (x) = – a · (x – x1) · (x – x2), sendo x1 e x2 raízes da função.

f (x) = – a · (x – x1) · (x – x2) → f (x) = – a · (x – 0) · (x – 4) → f (x) = – a · (x) · (x – 4)

Para o ponto P2 = (1, 3), temos (1) = 3:

3 = – a · (1) · (1 – 4) → 3 = – a · (1) · (– 3) → a = 1

f (x) = – 1 · (x) · (x – 4) → f (x) = (– x) · (x – 4)


f (– 1) = [– (– 1)] · [(– 1) – 4] = [1] · [– 5] = – 5

Figura 1: Gráfico de f (x).

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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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