Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 36 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

O professor de matemática do 9.º ano de uma escola propôs a seguinte situação aos seus alunos:

O gráfico a seguir mostra a posição d (em Km) de um automóvel em relação ao marco zero de uma estrada. 


No instante da partida, instante t = 0, o automóvel está a 10 km desse marco; 2,5 minutos depois ele está na posição d = 15 km.
  
Apresente, pelo menos, uma conclusão a respeito desses dados.

Para trabalhar as concepções dos alunos, o professor escolheu a resposta de cinco deles:

  • Marcos: a relação entre a posição d e o tempo t pode ser expressa pela sentença: d = 10 + 2,5t, em que d é expresso em km e tem minutos.
  • Norma: a relação entre a posição de o tempo t pode ser expressa pela sentença: d = 2,5 + 5t, em que d é expresso em km e tem minutos.
  • Júlio: A posição d e o tempo t são diretamente proporcionais, pois quanto maior for o valor de t maior é o valor de d.
  • Marta: No instante t = 8,75 min o automóvel está na posição d = 27,5 km.
  • Marcelo: para se deslocar 20 km, o automóvel levou 10 min.

Os dois únicos alunos que apresentaram corretamente sua conclusão foram:

(A) Marta e Marcelo.
(B) Júlio e Marcelo.
(C) Júlio e Marta.
(D) Norma e Júlio.
(E) Marcos e Júlio.

Solução: (A)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Considerando os dados do enunciado proposto pelo professor realizamos uma análise da mesma forma que os alunos.

O gráfico é uma reta logo é uma função do primeiro grau, sendo o marco (d) dado em função do tempo (t), portanto é uma função do tipo: d(t) = a · t + b, a inclinação da reta indica que se trata de uma função crescente logo a > 0.

Os dados do enunciado permitem determinar a função d (t).

A função do primeiro grau, em alguns caso, relaciona-se aos conceitos envolvendo grandezas diretamente proporcionais.
  
2° – Estabelecimento de um Plano

Determinamos inicialmente a função d (t), verificar se existe a relação com conceitos de grandezas diretamente proporcionais e posteriormente realizamos uma análise de das umas das afirmações dada por cada aluno.

3° – Execução do Plano

Obtendo a função d(t):

Segundo o gráfico para (0) = 10 e (5) = 20, então:

d (t) = a · t + b

d (0) = 10 → 10 = a · 0 + b → 10 = b

(t) = a · t + 10

(5) = 20 → 20 = a · 5 + 10 → 2 = a

(t) = 2 · t + 10

Analisando a função d (t), podemos observar que não se relaciona com grandezas diretamente proporcionais, visto que quando aumentamos o tempo a distancia não aumenta de forma proporcional, ou seja, se dobramos o tempo a distancia não dobra.

Observe:

(1) = 2 · 1 + 10 = 12 km

(2) = 2 · 2 + 10 = 14 km (dobro do tempo, mas não o dobro da distância)

(3) = 2 · 3 + 10 = 16 km (triplo do tempo, mas não o triplo da distância)

Analisando a afirmação de cada aluno:

Marcos: a relação entre a posição de o tempo t pode ser expressa pela sentença: d = 10 + 2,5t, em que d é expresso em km e tem minutos: Incorreto, como vimos a função é expressa por outra sentença.

Norma: a relação entre a posição d e o tempo t pode ser expressa pela sentença: d = 2,5 + 5t, em que d é expresso em km e tem minutos: Incorreto, como vimos a função é expressa por outra sentença.

Júlio: A posição d e o tempo t são diretamente proporcionais, pois quanto maior for o valor de t maior é o valor de d: Incorreto, como vimos apesar da distância aumentar conforme aumenta o tempo, este aumento não ocorre de maneira proporcional.

Marta: No instante t = 8,75 min o automóvel está na posição d = 27,5 km: Correto, observe:

(8,75) = 2 · (8,75) + 10 = 17,5 + 10 = 27,5 km

Marcelo: para se deslocar 20 km, o automóvel levou 10 min: Correto, ao deslocar 20 km ele passou, por exemplo, da posição 10 km no tempo t = 0 min para a posição 30 km para t = 10 min.

4° – Avaliação

Sabemos que o gráfico envolvendo grandezas diretamente proporcionais é uma reta que passa pela origem, ou seja, na função f (x) = · x + b, temos b = 0.

Na afirmação do Marcelo podemos considerar o seguinte: para a posição inicial d = 25 km, temos t = 7,5. Se tivermos um deslocamento de 20 km, o automóvel passa da posição de 25 km para a posição de 25 km + 20 km = 45 km.

d (t) = 45 km

d (t) = 2 · t + 10 → 45 = 2 · t + 10 → t = 17,5 min

Podemos observar que o automóvel demorou 10 min para percorrer os 20 km , o mesmo ocorre se considerarmos outras distancias e tempos como ponto inicial e deslocando 20 km. 

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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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