Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 31 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

A representação gráfica de uma função f: R → R é a da figura.


Essa função f pode ser expressa por:

(A) f(x) = 1 + cos x.
(B) f(x) = –1 + cos x.
(C) f(x) = 1 + sen x.
(D) f(x) = 2sen x.
(E) f(x) = 2cos x.

Solução: (D)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Neste problema temos que determinar a função que gerou o gráfico. Normalmente gráficos que apresentam esta forma ou são da função seno ou são da função cosseno. O gráfico apresenta alguns pontos importantes no qual podemos utilizar na resolução.

Observe que os valores de x estão em decimais, normalmente nestes gráficos temos valores de x expressos em π, que não é um problema visto que a função toca no eixo das abscissas em x = 0; x = 3,14... e x = 6,28... (em decimal) respectivamente a x = 0; x = π e x = 2·π (em múltiplos de π).

Na função seno e na função cosseno em sua forma mais básica, g(x) = sen(x) e g(x) = cos(x), apresentam o conjunto imagem: Imgg(x) = {[– 1, 1]}, ou seja, – 1 ≤ g(x) ≤ 1.

O gráfico indica uma imagem: Imgf(x) = {[– 2, 2]}, ou seja, – 2 ≤ f(x) ≤ 2, então temos as seguintes opções para analisar:

Para a função seno:

f(x) = sen[(c·x) + d]

f(x) = b · sen[(c·x) + d]

f(x) = a + b · sen[(c·x) + d]

Para a função cosseno:

f(x) = sen[(c·x) + d]

f(x) = b · sen[(c·x) + d]

f(x) = a + b · sen[(c·x) + d]

Cada um dos coeficientes abc e d tem um influência diferente e causam distorções na função seno e na função cosseno.

O coeficiente a influência a transição vertical sendo que só haverá deslocamento ou translação vertical se a ≠ 0; o deslocamento ou translação vertical será para cima se a > 0; o deslocamento ou translação vertical será para baixo se a < 0.

O coeficiente b influência o alongamento ou a compressão na vertical da curva, ou seja, a amplitude da curva, se b < 0 ocorre um reflexão da curva em torno de seu eixo.

O coeficiente c influência o alongamento ou a compressão na horizontal da curva, determinado o intervalo em que a curva se repete, ou seja, o período (obtido pela fórmula T = (2 · π) / |c|), sendo que só há alteração no período quando c ≠ 1.

O coeficiente d influência a transição horizontal sendo que só haverá deslocamento ou translação vertical se d ≠ 0; o deslocamento ou translação horizontal será de d/c para direita ou para a esquerda; o deslocamento ou translação horizontal para direita se d/c < 0; o deslocamento ou translação horizontal será para esquerda se d/c > 0; o deslocamento ou transição horizontal é denominado deslocamento de fase ou defasagem da curva.

2° – Estabelecimento de um Plano

Da análise do gráfico observamos que: – 2 ≤ f(x) ≤ 2, que e as outras características se mantem, então temos uma influência do coeficiente b, então a = 0, b ≠ 1, c = 1.

Como o coeficiente d influência na defasagem na curva pode fazer com que ou a função seno ou a função cosseno mudem de fase fazendo com que a função seno fique em fase com a função cosseno ou vice-versa.

As alternativas indicam que não temos esta influência, portanto temos apenas que verificar se a alternativa (D) ou a alternativa (E) é a correta, ou seja, para as funções do tipo:

f(x) = b · sen[(c·x) + d] → f(x) = b · sen(x)

Com b = 2.

Para a resolução, inicialmente, atribuímos valores para x e verificamos o valor do sen (x) e do cos (x), o preenchimento da Tabela 1, pode auxiliar, nela temos os valores mais utilizados neste tipo de resolução:

x
f(x)
sen(x)
cos(x)
0
0
0



π/2
2


3,14
π
0



3·π/2
– 2


6,28
2·π
0


Tabela 1: Valores mais utilizados para x nos cálculos 
da função seno e da função cosseno.

Com o preenchimento da tabela podemos comparar valores e determinar a resposta correta.

3° – Execução do Plano

Completando a tabela obtemos:

x
f(x)
sen(x)
cos(x)
0
0
0
0
1

π/2
2
1
0
3,14
π
0
0
– 1

3·π/2
– 2
– 1
0
6,28
2·π
0
0
1

Pela análise da tabela podemos observar que a alternativa correta é a (D) f(x) = 2 · sem(x).

4° – Avaliação

Para uma melhor compreensão de como os coeficiente abc e d influenciam na função seno e na função cosseno, apresento um appet do software de geometria Geogebra (http://www.geogebratube.org/student/m119485).

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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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