Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

%J - A Economia Bíblica

A Bíblia apresenta ao leitor sábios conselhos. No Capitulo 41 do Livro de Gênesis, o primeiro livro do Pentateuco (Torá), aconselha a economizar para não ser pego de surpresa em tempo de dificuldades.

A passagem bíblica relata a interpretação do sonho do Faraó realizada por José, um escravo hebreu, que recebeu de Deus o talento de interpretar sonhos. 

Para quem não conhece a história, transcrevo o texto bíblico1:


25 Então disse José a Faraó: O sonho de Faraó é um só; o que Deus há de fazer, mostrou-o a Faraó.
26 As sete vacas formosas são sete anos, as sete espigas formosas também são sete anos, o sonho é um só.
27 E as sete vacas feias à vista e magras, que subiam depois delas, são sete anos, e as sete espigas miúdas e queimadas do vento oriental, serão sete anos de fome.
28 Esta é a palavra que tenho dito a Faraó; o que Deus há de fazer, mostrou-o a Faraó.
29 E eis que vêm sete anos, e haverá grande fartura em toda a terra do Egito.
30 E depois deles levantar-se-ão sete anos de fome, e toda aquela fartura será esquecida na terra do Egito, e a fome consumirá a terra;
31 E não será conhecida a abundância na terra, por causa daquela fome que haverá depois; porquanto será gravíssima.
32 E que o sonho foi repetido duas vezes a Faraó, é porque esta coisa é determinada por Deus, e Deus se apressa em fazê-la.
33 Portanto, Faraó previna-se agora de um homem entendido e sábio, e o ponha sobre a terra do Egito.
34 Faça isso Faraó e ponha governadores sobre a terra, e tome a quinta parte da terra do Egito nos sete anos de fartura,
35 E ajuntem toda a comida destes bons anos, que vêm, e amontoem o trigo debaixo da mão de Faraó, para mantimento nas cidades, e o guardem.
36 Assim será o mantimento para provimento da terra, para os sete anos de fome, que haverá na terra do Egito; para que a terra não pereça de fome.
37 E esta palavra foi boa aos olhos de Faraó, e aos olhos de todos os seus servos.
Gênesis 41 : 25 ~37


No relato José aconselha ao Faraó a guardar a quinta parte (ou 20%) de toda produção de alimentos do Egito no período dos sete anos de fartura, para serem utilizados depois durante os sete anos de fome.

Vamos então analisar o conselho de José verificando se atualmente podemos aplicá-lo ao nosso cotidiano.

Consideremos então a produção de alimentos como sendo o salário mínimo mensal de um trabalhador, ou seja, R$ 724,00 (em 2.014) e o celeiro com sendo um fundo de investimento com o rendimento médio de 0,5% a.m.

Salário mínimo no ano de 2.014: R$ 724,00
Temos que observar que o dinheiro aplicado está sujeito a um acréscimo devido aos juros diferente dos alimentos estocados da passagem bíblica que tem um decréscimo devido ao estrago causado por pragas e outros fatores ambientais, temos então um ligeira vantagem, em relação ao povo do Egito.

Vamos analisar como sendo a Porcentagem de José (J%), retirados do dinheiro que temos após os pagamentos das contas fixas mensais:

J% = 20% de [ Salário (S) – Contas Fixas Mensais (CFM) ]

Segundo um resumo da Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF) entre 2.008 e 2.009, considerando alguns gastos essenciais, um brasileiro gastou em média:

16,0% de sua renda com alimentação (dentro e fora de casa);
29,0% da renda, com habitação (aluguel, contas de luz, água, gás, telefone fixo e celular, internet e TV por assinatura, entre outros);
2,5% da renda com educação;
1,7% da renda com plano de saúde
1,6% da renda com recreação e cultura;
2,2% da renda com transporte público.

Logo um total de 53,0% da renda mensal é utilizada para o pagamento de Contas Fixas Mensais.

CFM = 53% do Salário = 0,53 · S

J% = 20% de [ Salário (S) – 53% do Salário (S) ]

R$ 68,00 valor a ser guardado mensalmente
durante 7 anos.
Calculando 53,0% de R$ 724,00, obtemos R$ 383,72, então do salário inicial temos R$ 340,28 para pagamentos de outras dívidas ou para serem utilizados em na aquisição de outros bens de consumo.

O valor de R$ 340,28 será arredondado para R$ 340,00 para efeito de cálculo e será a partir deste momento o valor de que iremos obter os 20,0% de José:

J% = 20,0% de R$ 340,00 = R$ 68,00

Da equação {20% de [ Salário (S) – 53% do Salário (S) ] } podemos obter de forma direta a porcentagem de José:

J% = 20% de [ Salário (S) – 53% do Salário (S) ] = 0,20 · [ S – 0,53 · S ] =

= 0,20 · S – 0,106 · S = 0,094 · S

Então a Porcentagem de José equivale a 9,4% do salário, não esquecendo que consideramos que 53% do salário são destinados ao pagamento de contas fixas mensais.

Aplicando mensalmente o valor de R$ 68,00 (excluindo a parcela referente ao 13° salário) em algum fundo de investimento durante sete anos:

Valor do Depósito (VD): R$ 68,00
Número de Depósitos (n) = 84 meses (12 meses/ano · 7 anos)
Taxa de Juros (i) = 0,5% a.m.
Montante (M) = ?

M = VD · [ ( 1 + i )n – 1 ] · ( 1 / i )

M = R$ 68,00 · [ ( 1 + 0,005 )84 – 1 ] · ( 1 / 0,005 ) = R$ 7.077,027051... ≈ R$ 7.077,03


Durante sete anos o trabalhador aplicou R$ 5.712,00 (84 parcelas de R$ 68,00), que gerou R$ 1.365,03 de juros.

O cálculo acima não é 100% exato visto que consideramos um situação ideal, onde desconsideramos diversas taxas que estão relacionadas ao cálculo envolvendo fundos de investimentos.

Entretanto podemos observar que polpar uma parte do salário pode ser importante para não ser pego de surpresa em algum momento da vida. 

Para aqueles que tem dificuldade em determinar o quanto se deve polpar todos os meses, analisar o conselho bíblico pode ser um bom inicio. 
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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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