Questão 35 – Vestibulinho ETEC – 1° Semestre de 2.014

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-Venezuela.html#18534154

 Acessoem:21.08.2013)

O passeio em teleférico é uma opção turística em várias cidades do mundo.

O teleférico mais alto e o segundo mais longo do mundo fica na cidade de Mérida, Venezuela, unindo a cidade ao Pico Espejo, cujo topo está a uma altura de 4.765 metros acima do nível do mar. 

O teleférico sai da estação de Barinitas, a 1.577 metros acima do nível do mar, na cidade de Mérida e, depois de se deslocar 12,5 km, atinge o topo do Pico Espejo.

Considere que o cabo do teleférico seja completamente esticado e que seja o ângulo, com vértice na estação de Barinitas, formado pelo cabo do teleférico e a horizontal, conforme a figura.

Nessas condições, o valor aproximado do ângulo θ é

(A) 11º.

(B) 15º.

(C) 18º.

(D) 22º.

(E) 25º.

Utilize a tabela para responder à questão 35.

Fonte: http://www.vestibulinhoetec.com.br/provas-gabaritos/

Solução: (B)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema 

O enunciado da questão apresenta os dados simplificados da estrutura de um teleférico localizado entre duas cidades na Venezuela.

Segundo o enunciado a cidade de Pico Espejo está a uma altura de 4.765 metros acima do nível do mar e a cidade de Mérida está a 1.577 metros acima do nível do mar. Desta informação podemos obter a diferença de altitude entre as duas cidades.

Temos disponível uma figura auxiliar que representa a situação que estamos estudando, e uma tabela com valores trigonométricos para consulta nos cálculos.

A solução da questão envolve o cálculo do ângulo entre a hipotenusa e o cateto que forma a base do triângulo retângulo representado na figura do enunciado.

2° – Estabelecimento de um Plano 

Inicialmente devemos determinar a diferença entre as altitudes da cidade de Mérida e da cidade de Pico Espejo. Na Figura 1, temos um esboço da situação-problema.

Figura 1: Representação esquemática do problema

Este valor corresponde à medida do cateto oposto ao ângulo θ. Os 12,5 km que o teleférico percorre correspondem à hipotenusa do triângulo retângulo.

Na trigonometria temos a identidade trigonométrica do seno que é igual à razão entre o cateto oposto ao ângulo pela hipotenusa.

sen θ = (cateto oposto) / (hipotenusa)

Realizando este cálculo e conferindo este valor na tabela podemos determinar o valor do ângulo

3° – Execução do Plano

Calculando esta diferença de altitude temos:

4.765 metros – 1.577 metros = 3.188 metros

Determinando o valor de θ:

sen θ = (cateto oposto) / (hipotenusa) = 3188 m / 12500 m = 0,25504

Consultando a coluna do seno na tabela para sen θ = 0,25504 observamos que para sen 15° = 0,259, logo temos θ = 15°.

4° – Avaliação

Para resolução deste exercício existe a necessidade de se conhecer as relações trigonométricas no triângulo retângulo.

Observe que a tabela apresenta valores para seno, cosseno e tangente. Realizamos os cálculos com o seno para evitar mais cálculos para poderíamos utilizar qualquer um deles.

Entretanto inicialmente temos que determinar o valor do outro cateto, por meio do Teorema de Pitágoras. Vou utilizar as medidas em km e arredondar para três casas decimais, vai facilitar o cálculo, apesar de achar este processo mais longo e que pode ocasionais erros:

(hipotenusa)² = (cateto₁)² + (cateto₂)²

(12,5)² = (3,188)² + (cateto₂)²

156,25 = 10,163 + (cateto₂)²

156,25 – 10,163 = (cateto₂)²

146,087 = (cateto₂)² → cateto₂ = √146,087 = 12,087 km

Para calcular θ com o cosseno:

cos θ = (cateto adjacente) / (hipotenusa) = 12,087 km / 12,5 km = 0,96696

Consultando a coluna do cosseno na tabela, temos que cos 15° = 0,966 então θ = 15°.

Para calcular θ com a tangente:

tan θ = (cateto oposto) / (cateto adjacente) = 3,188 km / 12,087 km = 0,26375

A tangente pode ser calculada como sendo a razão entre o seno e o cosseno do ângulo.

tan θ = (sen θ) / (cos θ) = 0,25504 / 0,96696 = 0,26375

Consultando a coluna da tangente na tabela, temos que tag 15° = 0,268 então θ = 15°.

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Não se poderia esperar outra atitude de um geômetra!
Espero que um dia chegue a este nível!