Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 80 – Concurso SEE – 2.010 – Professor de Educação Básica II – Matemática


(A) 1/2.
(B) 1.
(C) 3/2.
(D) 9/2.
(E) 13/2.

Obs: Caderno de Prova ‘E05’ – Tipo 001 – Modelo 1

Solução: (C)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensãodo Problema

Nesta questão temos que determinar para qual ponto C (xc ,yc), com xceyc sendo número inteiro, obtemos a menor área para o triângulo ABC.

Para que esta condição do enunciado seja atendida o ponto C deve estar situado o mais próximo possível da reta suporte do segmento AB.

2° – Estabelecimento de um Plano

A resolução se resume em determinar o ponto C.

Inicialmente temos que determinara reta suporte do segmento AB. Com a equação da reta determina-se a distância do ponto C a esta reta.

O ponto C pertence a uma reta paralela a reta suporte do segmento AB. A distância (d) que separa estas duas retas equivale a altura do triângulo ABC e pode ser determinada segundo a relação

d (P, reta) = | a ∙ x + b ∙ y + c | / [ √(a2 + b2)]

Sendo a ∙ x + b ∙ y + c a equação da reta e x e y são as coordenadas do ponto P (,y).

Com o valor da distância d determina-se a área do triângulo ABC, cujabase é o comprimento do segmento AB, segundo a relação

dA,B= √[(xB – xA)2 + (yB – yA)2]

3° – Execução do Plano

Determinando a equação da reta suporte de AB:

(i) coeficiente angular da reta (m):

m = (yB – yA) / (xB – xA) = (15 – 0 ) / (36 / 0) = 15 / 36 = 5 / 12

(ii) equação da reta considerando o ponto A (0 , 0):

y – yA = m ∙ (x – xA) → y – 0 = (5/12) ∙ (x – 0) → y – 0 = (5/12) ∙ x →

→ 12 ∙ y – 5 ∙ x = 0→ 5 ∙ x – 12 ∙ = 0

Calculando a distância d:

d (C, AB) = | a ∙ x + b ∙ y + c | / [ √(a2 + b2)]

d (C, AB) = |5 ∙ x – 12 ∙y| / [ √(52 + (–12)2)]

d (C, AB) = |5 ∙ x– 12 ∙ yC| / √(169) = |5 ∙ xC – 12 ∙ yC| / 13

Calculando o comprimento do seguimento AB:

dA,B= √[(xB – xA)2 + (yB – yA)2] = √[(36 – 0)2 + (15 – 0)2] =

= √(1296 + 225) = √(1521) = 39

Calculando a área do triângulo ABC:

AΔABC = (dA,B ∙ d) / 2 = [39 ∙ (|5 ∙ x– 12 ∙ yC| / 13)] / 2

AΔABC = (dA,B ∙ d) / 2 = [(39 / 13) ∙ (|5 ∙ x– 12 ∙ yC|)] / 2

AΔABC = [3 ∙ (|5 ∙ x– 12 ∙ yC| / 13)] / 2 = (3 / 2) ∙ (|5 ∙ x– 12 ∙ yC|)

Segundo as condições do problema xceyc são números inteiros então o módulo |5 ∙ x– 12 ∙ yC| é um número inteiro. Para que a área do triângulo ABC seja a mínima possível o módulo |5 ∙ x– 12 ∙ yC| deve ser o menor número inteiro não nulo, portanto |5 ∙ x– 12 ∙ yC| = 1

Desta forma a menor área possível do triângulo ABC é 3 / 2.

4° – Avaliação

Considerando C (–5 ,–2), temos:

AΔABC = (3 / 2) ∙ (|5 ∙ (–5) – 12 ∙ (–2)|) = 3 / 2 ∙ 1 = 3 / 2

Temos outros pontos que satisfaz esta condição, como por exemplo, o ponto C (5 , 2).

Todos os pontos pertencentes às retas: p1: 5 ∙ x – 12 ∙ y + 1 = 0 e p2: 5 ∙ x – 12 ∙ y – 1 = 0, que são retas paralelas a reta suporte AB,  satisfazem a relação |5 ∙ x– 12 ∙ yC| , entretanto somente os pontos cuja suas coordenadas são números inteiros satisfazem as condições do enunciado.

Resolução a pedido da Profª. Ane.
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