Questão 80 – Concurso SEE – 2.010 – Professor de Educação Básica II – Matemática

O triângulo ABC tem vértices A(0,0) e B(36,15). A respeito do vértice C, sabe-se que suas coordenadas são números inteiros. A menor área possível do triângulo ABC é

(A) 1/2.

(B) 1.

(C) 3/2.

(D) 9/2.

(E) 13/2.

Obs: Caderno de Prova ‘E05’ – Tipo 001 – Modelo 1

Solução: (C)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensãodo Problema

Nesta questão temos que determinar para qual ponto C (x_c ,y_c), com x_cey_c sendo número inteiro, obtemos a menor área para o triângulo ABC.

Para que esta condição do enunciado seja atendida o ponto C deve estar situado o mais próximo possível da reta suporte do segmento AB.

2° – Estabelecimento de um Plano

A resolução se resume em determinar o ponto C.

Inicialmente temos que determinara reta suporte do segmento AB. Com a equação da reta determina-se a distância do ponto C a esta reta.

O ponto C pertence a uma reta paralela a reta suporte do segmento AB. A distância (d) que separa estas duas retas equivale a altura do triângulo ABC e pode ser determinada segundo a relação

d (P, reta) = | a ∙ x + b ∙ y + c | / [ √(a² + b²)]

Sendo a ∙ x + b ∙ y + c a equação da reta e x e y são as coordenadas do ponto P (x ,y).

Com o valor da distância d determina-se a área do triângulo ABC, cujabase é o comprimento do segmento AB, segundo a relação

d_A,B= √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²]

3° – Execução do Plano

Determinando a equação da reta suporte de AB:

(i) coeficiente angular da reta (m):

m = (y_B – y_A) / (x_B – x_A) = (15 – 0 ) / (36 / 0) = 15 / 36 = 5 / 12

(ii) equação da reta considerando o ponto A (0 , 0):

y – y_A = m ∙ (x – x_A) → y – 0 = (5/12) ∙ (x – 0) → y – 0 = (5/12) ∙ x →

→ 12 ∙ y – 5 ∙ x = 0→ 5 ∙ x – 12 ∙ y = 0

Calculando a distância d:

d (C, AB) = | a ∙ x + b ∙ y + c | / [ √(a² + b²)]

d (C, AB) = |5 ∙ x – 12 ∙y| / [ √(5² + (–12)²)]

d (C, AB) = |5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| / √(169) = |5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| / 13

Calculando o comprimento do seguimento AB:

d_A,B= √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²] = √[(36 – 0)² + (15 – 0)²] =

= √(1296 + 225) = √(1521) = 39

Calculando a área do triângulo ABC:

A_ΔABC = (d_A,B ∙ d) / 2 = [39 ∙ (|5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| / 13)] / 2

A_ΔABC = (d_A,B ∙ d) / 2 = [(39 / 13) ∙ (|5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C|)] / 2

A_ΔABC = [3 ∙ (|5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| / 13)] / 2 = (3 / 2) ∙ (|5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C|)

Segundo as condições do problema x_cey_c são números inteiros então o módulo |5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| é um número inteiro. Para que a área do triângulo ABC seja a mínima possível o módulo |5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| deve ser o menor número inteiro não nulo, portanto |5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| = 1

Desta forma a menor área possível do triângulo ABC é 3 / 2.

4° – Avaliação

Considerando C (–5 ,–2), temos:

A_ΔABC = (3 / 2) ∙ (|5 ∙ (–5) – 12 ∙ (–2)|) = 3 / 2 ∙ 1 = 3 / 2

Temos outros pontos que satisfaz esta condição, como por exemplo, o ponto C (5 , 2).

Todos os pontos pertencentes às retas: p₁: 5 ∙ x – 12 ∙ y + 1 = 0 e p₂: 5 ∙ x – 12 ∙ y – 1 = 0, que são retas paralelas a reta suporte AB,  satisfazem a relação |5 ∙ x_C – 12 ∙ y_C| , entretanto somente os pontos cuja suas coordenadas são números inteiros satisfazem as condições do enunciado.

Resolução a pedido da Profª. Ane.