Questão 30 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

O polinômio P (x) = x³+ 2x²– 5x – 6 tem três raízes inteiras e distintas, e sabe-se que P (–1) = 0. A soma das duas outras raízes é

(A) – 2.

(B) – 1.

(C) 1.

(D) 2.

(E) 5.

Solução: (B)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Segundo a teoria todo polinômio é divisível pelo polinômio (x – x_r), onde x_r uma raiz do polinômio, sedo que a raiz anula o valor da equação, ou seja, sendo um polinômio qualquer P (x) então P (x_r) = 0.

Segundo o enunciado para P (x) = x³ + 2 ∙ x² – 5 ∙ x – 6 temos que P (– 1) = 0, em outras palavras "P (– 1) = 0" diz que "– 1" é uma das três raízes de P (x).

Portanto P (x) é divisível por (x – (– 1)) = (x + 1).

Uma condição importante é que as outras duas raízes de P (x), x₂ e x₃ , são raízes inteiras e distintas.

2° – Estabelecimento de um Plano

A resolução desta questão consiste em dividir o polinômio x³ + 2 ∙ x² – 5 ∙ x – 6 por x + 1.

O quociente desta divisão é um polinômio do segundo grau do qual podemos determinar as duas raízes e determinar a soma destas duas raízes.

3° – Execução do Plano

A divisão de x³ + 2 ∙ x² – 5 ∙ x – 6 por x + 1 pode ser realizado por diversos métodos como, por exemplo, o “método da chave”.

O quociente obtido é o polinômio x² + x – 6. Considerado x² + x – 6 = 0 obtemos duas raízes: x₂ = 2 e x₃ = – 3.

A soma x₂ + x₃ = 2 + (– 3) = – 1 .

4° – Avaliação

Substituindo x₂ = 2 e x₃ em P (x), obtemos P (2) = 0 e P (– 3) = 0 confirmando que são raízes. Outro fato que confirma os cálculos é que x₁ , x₂ e x₃ são raízes inteiras e distintas conforme a condição do enunciado.