Questão 55 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

O triângulo PQR da figura é retângulo em P. O segmento PM é mediana relativa ao lado RQ do triângulo e PB é bissetriz do ângulo P. A medida do cateto PR é 12 cm e a medida do cateto PQ é 9 cm

 

A distância entre os pontos M e B é igual a

(A) 30 / 7.

(B) 45 / 27.

(C) 15 / 14.

(D) 5 / 4.

(E) 13 / 12. 

Solução: (C) 

Antes de resolver gostaria de pedir desculpas, pois tenho a incrível capacidade de sempre escolher o caminho mais longo na resolução.

A medida da mediana relativa a hipotenusa de um triangulo retângulo é igual a metade da medida da hipotenusa. 

h² = c² + c² → RQ² = PR² + PQ² → RQ² = 12² + 9² = 225 →RQ = √225 = 15

A medida de PM = RQ / 2 = 15 / 2.

Para determinar a medida da bissetriz PB inicialmente traçamos por B o segmento BA paralelo a um dos catetos, neste caso utilizamos o cateto PQ (vide, Fig. 1). O triângulo RAB é semelhante ao triângulo RPQ, portanto:

Figura 1: Construção auxiliar.

PA = BA

PA² + BA² = PB² 

PA = BA = PB / √2 = PB ∙ √2 / 2

RA = PR – PA

Sendo o triângulo RAB e o triângulo RPQ semelhantes, temos a seguinte relação:

PQ / BA = PR / RA → PQ / BA = PR / (PR – PA)

Resolvemos obtemos:

PQ ∙ (PR – PA) = PR ∙ BA → PR ∙ BA = PQ ∙ PR – PQ ∙ PA →

→ PR ∙ (PB ∙ √2 / 2) = PQ ∙ PR – PQ ∙ (PB ∙ √2 / 2) →

→ PR ∙ (PB ∙ √2 / 2) + PQ ∙ (PB ∙ √2 / 2) = PQ ∙ PR →

→ PB ∙ (√2 / 2) ∙ (PR + PQ) ∙ = PQ ∙ PR → PB ∙ (√2 / 2) = (PQ ∙ PR) / (PR + PQ) →

→ PB = (2 ∙ PQ ∙ PR) / (√2 ∙ PR + PQ) →

→ PB = (PQ ∙ PR ∙ √2) / (PR + PQ) → PB = (9 ∙ 12 ∙ √2) / (12 + 9) = 36 ∙ √2 / 7

MB = MQ – BQ, devemos então determinar BQ aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BPQ:

BQ² = PB² + PQ² – 2 ∙ PB ∙ PQ ∙ cos (P)

BQ² = (36 ∙ √2 / 7)² + 9² – 2 ∙ (36 ∙ √2 / 7) ∙ 9 ∙ cos (45°)  =

= 2592 / 49 + 81 – (648 ∙ √2 / 7) ∙ (√2 / 2) = 2592 / 49 + 81 – 648 / 7 = 2025 / 49

BQ² = 2025 / 49 → BQ = √(2025 / 49) = 45 / 7

Calculando MB:

MQ = RM = PM = 15 / 2

MB = MQ – BQ = (15 / 2) – (45 / 7) = 15 / 14. 

***

O amigo Raimundo do fórum Pir2 utilizou o teorema da bissetriz interna: uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

RB = RQ – BQ = 15 – BQ

Aplicando o teorema da bissetriz interna:

PR / RB = PQ / BQ

12 / (15 – BQ) = 9 / BQ → 12 ∙ BQ = 9 ∙ (15 – BQ) →

→ 12 ∙ BQ = 135 – 9 ∙ BQ  → 21 ∙ BQ = 135 → BQ = 45 / 7

MB = MR – BQ = (15 / 2) – (45 / 7) = 15 / 14.

 

Referência: DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Niciolau. Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 9: Geometria Plana. 7º edição. São Paulo: Editora Atual, 1.997. 

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.