Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 55 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

O triângulo PQR da figura é retângulo em P. O segmento PM é mediana relativa ao lado RQ do triângulo e PB é bissetriz do ângulo P. A medida do cateto PR é 12 cm e a medida do cateto PQ é 9 cm

 

A distância entre os pontos M e B é igual a

(A) 30 / 7.
(B) 45 / 27.
(C) 15 / 14.
(D) 5 / 4.
(E) 13 / 12. 

Solução: (C) 

Antes de resolver gostaria de pedir desculpas, pois tenho a incrível capacidade de sempre escolher o caminho mais longo na resolução.

A medida da mediana relativa a hipotenusa de um triangulo retângulo é igual a metade da medida da hipotenusa. 

h2 = c2 + c2 RQ2 = PR2 + PQ2 → RQ2 = 122 + 92 = 225 →RQ = √225 = 15

A medida de PM = RQ / 2 = 15 / 2.

Para determinar a medida da bissetriz PB inicialmente traçamos por B o segmento BA paralelo a um dos catetos, neste caso utilizamos o cateto PQ (vide, Fig. 1). O triângulo RAB é semelhante ao triângulo RPQ, portanto:

Figura 1: Construção auxiliar.
PA = BA

PA2 + BA2 = PB2 

PA = BA = PB / √2 = PB ∙ √2 / 2

RA = PR – PA

Sendo o triângulo RAB e o triângulo RPQ semelhantes, temos a seguinte relação:

PQ / BA = PR / RA → PQ / BA = PR / (PR – PA)

Resolvemos obtemos:

PQ ∙ (PR – PA) = PR ∙ BA → PR ∙ BA = PQ ∙ PR – PQ ∙ PA →

→ PR ∙ (PB ∙ √2 / 2) = PQ ∙ PR – PQ ∙ (PB ∙ √2 / 2) →

→ PR ∙ (PB ∙ √2 / 2) + PQ ∙ (PB ∙ √2 / 2) = PQ ∙ PR →

→ PB ∙ (√2 / 2) ∙ (PR + PQ) ∙ = PQ ∙ PR → PB ∙ (√2 / 2) = (PQ ∙ PR) / (PR + PQ) →

→ PB = (2 ∙ PQ ∙ PR) / (√2 ∙ PR + PQ) →

→ PB = (PQ ∙ PR ∙ √2) / (PR + PQ) → PB = (9 ∙ 12 ∙ √2) / (12 + 9) = 36 ∙ √2 / 7

MB = MQ – BQ, devemos então determinar BQ aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BPQ:

BQ2 = PB2 + PQ2 – 2 ∙ PB ∙ PQ ∙ cos (P)

BQ2 = (36 ∙ √2 / 7)2 + 92 – 2 ∙ (36 ∙ √2 / 7) ∙ 9 ∙ cos (45°)  =

= 2592 / 49 + 81 – (648 ∙ √2 / 7) ∙ (√2 / 2) = 2592 / 49 + 81 – 648 / 7 = 2025 / 49

BQ2 = 2025 / 49 → BQ = √(2025 / 49) = 45 / 7

Calculando MB:

MQ = RM = PM = 15 / 2

MB = MQ – BQ = (15 / 2) – (45 / 7) = 15 / 14. 

***

O amigo Raimundo do fórum Pir2 utilizou o teorema da bissetriz interna: uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

RB = RQ – BQ = 15 – BQ

Aplicando o teorema da bissetriz interna:

PR / RB = PQ / BQ

12 / (15 – BQ) = 9 / BQ → 12 ∙ BQ = 9 ∙ (15 – BQ) →

12 ∙ BQ = 135 – 9 ∙ BQ  → 21 ∙ BQ = 135 → BQ = 45 / 7

MB = MR – BQ = (15 / 2) – (45 / 7) = 15 / 14.
 
Referência: DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Niciolau. Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 9: Geometria Plana. 7º edição. São Paulo: Editora Atual, 1.997. 

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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