Um professor, em uma aula de
probabilidade, trouxe uma caixa com três bolas, sendo duas azuis e uma
vermelha. Ele disse aos seus alunos: se eu tirar, ao acaso, duas bolas dessa
caixa, sem reposição, o que poderemos afirmar?
Analise a resposta que cinco
alunos deram ao professor:
• Maria: a probabilidade de tirar duas azuis é maior do que a de
tirar uma vermelha e outra azul.
• Diego: a probabilidade de tirar duas azuis é igual a de tirar uma
vermelha e outra azul.
• Paula: a probabilidade de tirar uma azul e a outra vermelha é o
dobro de tirar duas azuis.
• Júlia: a probabilidade de tirar uma azul e a outra vermelha é de
1/4.
• Lucas: a probabilidade de tirar duas azuis é 1/5.
Desses alunos, o único aluno que
fez uma afirmação correta foi
(A) Maria.
(B) Diego.
(C) Paula.
(D) Júlia.
(E) Lucas.
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução
de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Nesta questão devemos determinar
qual aluno realizou a afirmação correta baseado no experimento do professor de
retirou duas bolas, sem reposição, de um saco contendo duas bolas azuis e uma
bola vermelha.
Questões de probabilidade são
resolvidas com mais de 90% de interpretação: observe que o enunciado não refere
a nenhuma condição obrigatória, apenas que as bolas retiradas não serão
recolocadas na caixa. Da mesma forma as afirmações dos alunos não apresenta
referências a condição como uma cor especifica na primeira retirada.
Ao se retirar duas bolas sem
reposição observam-se apenas três possibilidades: tirar duas bolas azuis [P (AA)],
tirar uma bola azul e uma vermelha [P
(AV)] ou tirar uma bola vermelha e
uma bola azul [P (VA)]. A probabilidade envolve eventos
independentes.
2° – Estabelecimento de um Plano
Para resolver esta questão vamos
nos basear nas afirmações dos alunos que se refere as probabilidades de se
tirar duas bolas azuis [P (AA)] e a probabilidade de se tirar uma
bola vermelha e um bola azul (em qualquer ordem) [P (AV ou VA)].
Aplicando a teoria clássica da
probabilidade envolvendo eventos independentes e a regra da multiplicação,
obtemos:
P (AA') = P (A)
∙ P (A')
P (AV' ou VA') = P (A) ∙ P (V')
+ P (V) ∙ P (A')
Obtidos estes valores
analisaremos cada afirmação dos alunos.
3° – Execução do Plano
Calculando a probabilidade:
P (A) = (2/3) → probabilidade de tirar a 1º bola azul
P (A') = (1/2) → probabilidade de tirar a 2 º bola azul
P (A") = (2/2) = 1 → probabilidade de tirar a uma bola azul tendo tirado uma bola vermelha
P (V) = (1/3) → probabilidade de tirar a 1º bola vermelha
P (V') = (1/2) → probabilidade de tirar a 2 º bola vermelha
P (AA') = P (A)
∙ P (A') = (2/3) ∙ (1/2) = 1/3
P (AV' ou VA") = P (A) ∙ P (V')
+ P (V) ∙ P (A') = (2/3) ∙ (1/2) + (1/3) ∙ 1 =
= (1/3) + (1/3) = 2 ∙ (1/3)
Analisando a resposta de cada
aluno:
Maria: a probabilidade de tirar
duas azuis é maior do que a de tirar uma vermelha e outra azul.
P (AA') < P (AV
ou VA") → 1/3 < 2/3 {falso}
Diego: a probabilidade de tirar
duas azuis é igual a de tirar uma vermelha e outra azul.
P (AA') = P (AV
ou VA") → 1/3 = 2/3 {falso}
Paula: a probabilidade de tirar
uma azul e a outra vermelha é o dobro de tirar duas azuis.
P (AV ou VA") = 2 ∙ P (AA') = 2 ∙ (1/3)
{verdadeiro}
Júlia: a probabilidade de tirar
uma azul e a outra vermelha é de 1/4 {falso}.
Lucas: a probabilidade de tirar
duas azuis é 1/5 {falso}.
4° – Avaliação
A resolução satisfez as condições
do problema.
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