Questão 12 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Uma determinada empresa de ônibus aluga seus ônibus para estudantes em viagens para encontros e congressos. Um grupo decidiu viajar para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta: o preço de cada passagem depende do total de passageiros – cada  passageiro pagará R\$ 90,00 mais o valor de R\$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é CORRETO afirmar que:

A) o valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35.

B) se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão 450x – 5x².

C) se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R\$ 110,00.

D) se viajarem 50 pessoas, a empresa deverá receber um total de R\$ 6.000,00 referente ao pagamento das passagens.

E) se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber, referente ao pagamento das passagens, é calculado pela expressão 300x – 5x².

Solução: (A)

Seja x o total de passageiros, o número de lugares vagos é 52 – x.

Cada passageiro paga: R\$ 90,00 + R\$ 5,00 ∙ (52 – x) → 90,00 + 5,00 ∙ (52 – x)

O total arrecadado pela empresa:

p(x) = x ∙ (90,00 + 5,00 ∙ (52 – x) = 350 ∙ x – 5 ∙ x²

Se viajarem 30 pessoas cada uma paga:

90,00 + 5,00 ∙ (52 – x) = 90,00 + 5,00 ∙ (52 – 30) = R\$ 1.234,00

Se viajarem 50 pessoas a empresa arrecada:

p(50) = 350 ∙ 50 – 5 ∙ 50² = R\$ 5.000,00

Sendo p(x) uma função do segundo grau com a concavidade da parábola voltada para baixo o valor máximo arrecadado pela empresa é a componente y do vértice da parábola, sendo a componente x representa o número de passageiros:

x_vértice = – b / (2 ∙ a) = – 350 / [2 ∙ (– 5)] = 35 passageiros.