Questão 11 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Ao contrário de um imóvel, que fica mais valorizado comercialmente dia após dia, um veículo começa a perder seu valor no instante em que sai da loja. Alguns modelos perdem menos, outros mais. Segundo um especialista, a média de depreciação de um carro de passeio nacional com até dois anos de vida é de 20% a 35%. Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se P representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t) o preço após t anos, determine o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um a automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use log 2 ≅ 0,301 e log 3 ≅ 0,477.

A) 14 anos.
B) 15 anos.
C) 13 anos.
D) 16 anos.
E) 18 anos.

Solução: (B)

Sendo F o valor inicial, temos:

1º ano: p(1) = F – 19% de F = F – (19/100) ∙ F = (81/100) ∙ F = 0,81 ∙ F

2º ano: p(2) = 0,81 ∙ F – 19% de (0,81 ∙ F) ∙ F = 0,81 ∙ F – (19/100) ∙ (0,81 ∙ F) = (0,81)² ∙ F

3º ano: p(3) = 0,81² ∙ F – 19% de (0,81² ∙ F) ∙ F = 0,81² ∙ F – (19/100) ∙ (0,81² ∙ F) = (0,81)³ ∙ F

( ... )

Após t ano temos: p(t) = 0,81^t ∙ F

Para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial, temos:

p(t) ≤ 0,05 ∙ F

0,81^t ∙ F ≤ 0,05 ∙ F

0,81^t ≤ 0,05

Supondo F ≠ 0, temos: 0,81^t ∙ F ≤ 0,05 , a função log₁₀ → log é crescente então

log (0,81^t) ≤ log (0,05) → t ∙ log (0,81) ≤ log (0,05) →

→ t ∙ log (81/100) ≤ log (5/100) → t ∙ (log 81 – log 100) ≤ log 5 – log 100 →

→ t ∙ (log 3⁴ – log 10²) ≤ log 5 – log 10² →

→ t ∙ (4 ∙ log 3 – 2 ∙ log 10) ≤ log 5 – 2 ∙ log 10

Sabemos que: log 5 = log (10/2) = log 10 – log 2 = 1 – log 2

t ∙ (4 ∙ log 3 – 2 ∙ log 10) ≤ log 5 – 2 ∙ log 10 →

→ t ∙ (4 ∙ log 3 – 2) ≤ 1 – log 2 – 2 → t ≤ (1 – log 2 – 2) / (4 ∙ log 3 – 2) →

→ t ≤ (1 – 0,301 – 2) / (4 ∙ 0,447 – 2) → t ≤ 14,141 anos

Se t é maior que 14,141 anos logo o primeiro inteiro após este valor é 15, ou seja, em aproximadamente 15 anos o automóvel vale menos que 5% do valor inicial.