Questão 10 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná

Determine a(s) solução(ões) para a equação:

√(2 + √3)^x + √(2 – √3)^x = 4

A) x = –1 ou x = 1

B) x = –1 ou x = 2

C) x = 2 ou x = 2

D) x = –2 ou x = 2

E) x = 4

Solução: (D)

A chave para a resolução desta equação é notar que:

(2 – √3) = 1 / (2 + √3)

Por radiciação temos:

1 / (2 + √3) = [1 / (2 + √3)] ∙ [(2 – √3) / (2 – √3)] = (2 – √3)

Resolvendo a equação:

√(2 + √3)^x + √(2 – √3)^x = 4 → √(2 + √3)^x + √(1 / (2 + √3))^x = 4 →

→ √(2 + √3)^x + 1 / √(2 – √3)^x = 4 → [(√(2 + √3)^x)² + 1] / √ (2 + √3)^x = 4 →

→ (√(2 + √3)^x)² + 1 = 4 ∙ (√ (2 + √3)^x) →

→ (√(2 + √3)^x)² + 1 – 4 ∙ (√ (2 + √3)^x) = 0

Considerando √ (2 + √3)^x = y , obtemos:

(√(2 + √3)^x)² + 1 – 4 ∙ (√ (2 + √3)^x) = 0 → y²+ 1 – 4 ∙ y = 0

Resolvendo a equação do segundo grau encontramos as raízes y₁ = 2 + √3 e y₂ = 2 – √3.

Para y = 2 + √3 :

√(2 + √3)^x = 2 + √3 → (2 + √3)^x^/2 = (2 + √3)¹ → x / 2 = 1 → x = 2

Para y = 2 – √3 :

√(2 + √3)^x = 2 – √3 → √(2 + √3)^x = 1 / (2 + √3) → (2 + √3)^x^/2 = (2 + √3)^–¹ →

→ x / 2 = – 1 → x = – 2

A solução da equação: S = {– 2 , 2}.

Agradecimento especial ao Grande Mestre Elcioschin e ao Monitor Luck do Fórum PiR2 pelo auxilio na resolução.

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