A professora
do 9.º ano solicitou a seus alunos que localizassem na reta numérica o ponto
correspondente a 2 √3, utilizando régua e compasso. Todos os alunos tinham bons
instrumentos e fizeram os transportes das medidas adequadamente, utilizando de
forma correta o compasso.
Analise os
procedimentos de cinco de seus alunos.
Ana:
construiu um triângulo retângulo de catetos com medidas 1 e 2. Com o compasso,
transportou a medida da hipotenusa e marcou essa distância a partir do número
zero da reta, do lado direito.
André:
construiu um retângulo de lados com medidas 1 e 2. Uniu dois vértices opostos,
obtendo uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e
marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.
Diego:
construiu um quadrado de lado com medida 1. Uniu dois vértices opostos, obtendo
uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e marcou duas
vezes essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.
Júlia:
Construiu um triângulo eqüilátero de lado com medida 4 e traçou a altura desse
triângulo. Com o compasso, transportou a medida da altura e marcou essa
distância a partir do número zero da reta, do lado direito.
Lucas:
construiu um quadrado de lado com medida 1. Uniu dois vértices opostos, obtendo
uma diagonal. Depois, construiu um triângulo retângulo, tendo como um dos
catetos a diagonal do quadrado e o outro com medida 1. Com o compasso, transportou
a medida da hipotenusa e marcou duas vezes essa distância a partir do número
zero da reta, do lado direito.
Os dois
alunos que encontraram a medida solicitada foram
(A) Ana e
André.
(B) Ana e
Diego.
(C) André e
Lucas.
(D) Diego e
Júlia.
(E) Júlia e
Lucas.
Solução: (E)
Analisando
algebricamente cada construção dos alunos:
(1) Ana
utilizou a medida da hipotenusa do triângulo construído por ela. A medida desta
hipotenusa, segundo o teorema de Pitágoras, é de:
h2 = c2 + c2
h2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5
h = √5
Sendo √5 ≠ 2 ∙
√3, Ana não marcou o ponto corretamente na reta numérica.
(2) Ao
utilizar a medida da diagonal de um retângulo de lados 1 e 2, André cometeu o
mesmo erro que Ana, visto que a diagonal dividiu o retângulo em dois triângulos
retângulos congruentes ao triângulo construído por Ana, obtendo assim a medida
de √5.
(3) Diego utilizou
a medida da diagonal do quadrado. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos
isósceles e retângulos, os catetos destes triângulos são formados pelos lados
do quadrado, logo os catetos são congruentes e a diagonal forma a hipotenusa
destes triângulos. A medida da hipotenusa pode ser determinada pelo teorema de
Pitágoras:
h2 = c2 + c2 = 2 ∙ c2
h2 = 2 ∙ c2 = 2 ∙ (1)2
= 2
h = √2
Observamos
que a medida utilizada por Diego 2 ∙ √2 ≠ 2 ∙ √3.
(4) Júlia utilizou
a medida da altura de um triângulo eqüilátero. A altura do triângulo divide o
triangulo eqüilátero em outros dois triângulos retângulos e congruentes, sendo
que a altura forma um dos catetos do triângulo retângulo.
Determinamos
a altura por meio do teorema de Pitágoras, sendo que a medida da hipotenusa é
congruente ao lado do triângulo eqüilátero e a medida de um dos catetos é metade
da medida do lado do triangulo original, visto que a altura divide a base do
triangulo original em duas medidas congruentes, então:
lado2 = (altura)2
+ (base / 2)2
42
= (altura)2 + (4 / 2)2
16 – 4 = (altura)2
12 = (altura)2 → √12 = (altura) → (altura) = 2 ∙ √3
Sendo assim a
medida da altura do triangulo eqüilátero com lado medindo 4 é congruente a medida
de 2 ∙ √3 que deve ser indicada na reta numérica.
(5) A medida
da diagonal do quadrado construído por Lucas é congruente ao do quadrado construído
por Diego, ou seja, possui medida equivalente a √2.
Lucas
utilizou esta diagonal para formar um dos catetos de um triângulo retângulo
cujo outro cateto possui medida 1. Assim podemos determinar a medida da
hipotenusa deste triângulo pelo teorema de Pitágoras:
h2 = c2 + c2
h2 = 12 + (√2)2 = 1 + 2 = 3
h = √3
Para localizar
o ponto na reta numérica, Lucas utilizou duas vezes esta medida, ou seja, √3 + √3 = 2 ∙ √3.
Resolução a
pedido da Profª. Édnamar.
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