Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 59 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

A professora do 9.º ano solicitou a seus alunos que localizassem na reta numérica o ponto correspondente a 2 √3, utilizando régua e compasso. Todos os alunos tinham bons instrumentos e fizeram os transportes das medidas adequadamente, utilizando de forma correta o compasso.

Analise os procedimentos de cinco de seus alunos.

Ana: construiu um triângulo retângulo de catetos com medidas 1 e 2. Com o compasso, transportou a medida da hipotenusa e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

André: construiu um retângulo de lados com medidas 1 e 2. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Diego: construiu um quadrado de lado com medida 1. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e marcou duas vezes essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Júlia: Construiu um triângulo eqüilátero de lado com medida 4 e traçou a altura desse triângulo. Com o compasso, transportou a medida da altura e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Lucas: construiu um quadrado de lado com medida 1. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Depois, construiu um triângulo retângulo, tendo como um dos catetos a diagonal do quadrado e o outro com medida 1. Com o compasso, transportou a medida da hipotenusa e marcou duas vezes essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Os dois alunos que encontraram a medida solicitada foram

(A) Ana e André.
(B) Ana e Diego.
(C) André e Lucas.
(D) Diego e Júlia.
(E) Júlia e Lucas.

Solução: (E)

Analisando algebricamente cada construção dos alunos:

(1) Ana utilizou a medida da hipotenusa do triângulo construído por ela. A medida desta hipotenusa, segundo o teorema de Pitágoras, é de:

h2 = c2 + c2

h2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5

h = √5

Sendo √5 ≠ 2 ∙ √3, Ana não marcou o ponto corretamente na reta numérica.

(2) Ao utilizar a medida da diagonal de um retângulo de lados 1 e 2, André cometeu o mesmo erro que Ana, visto que a diagonal dividiu o retângulo em dois triângulos retângulos congruentes ao triângulo construído por Ana, obtendo assim a medida de √5.

(3) Diego utilizou a medida da diagonal do quadrado. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos isósceles e retângulos, os catetos destes triângulos são formados pelos lados do quadrado, logo os catetos são congruentes e a diagonal forma a hipotenusa destes triângulos. A medida da hipotenusa pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras:

h2 = c2 + c2 = 2 ∙ c2

h2 = 2 ∙ c2 = 2 ∙ (1)2 = 2

h = √2

Observamos que a medida utilizada por Diego 2 ∙ √2 ≠ 2 ∙ √3.

(4) Júlia utilizou a medida da altura de um triângulo eqüilátero. A altura do triângulo divide o triangulo eqüilátero em outros dois triângulos retângulos e congruentes, sendo que a altura forma um dos catetos do triângulo retângulo.

Determinamos a altura por meio do teorema de Pitágoras, sendo que a medida da hipotenusa é congruente ao lado do triângulo eqüilátero e a medida de um dos catetos é metade da medida do lado do triangulo original, visto que a altura divide a base do triangulo original em duas medidas congruentes, então:

lado2 = (altura)2 + (base / 2)2

42 = (altura)2 + (4 / 2)2

16 4 = (altura)2

12 = (altura)2 → √12 = (altura) → (altura) = 2 ∙ √3

Sendo assim a medida da altura do triangulo eqüilátero com lado medindo 4 é congruente a medida de 2 ∙ √3 que deve ser indicada na reta numérica.

(5) A medida da diagonal do quadrado construído por Lucas é congruente ao do quadrado construído por Diego, ou seja, possui medida equivalente a √2. 

Lucas utilizou esta diagonal para formar um dos catetos de um triângulo retângulo cujo outro cateto possui medida 1. Assim podemos determinar a medida da hipotenusa deste triângulo pelo teorema de Pitágoras:

h2 = c2 + c2

h2 = 12 + (√2)2 = 1 + 2 = 3

h = √3

Para localizar o ponto na reta numérica, Lucas utilizou duas vezes esta medida, ou seja,  √3 + √3 = 2 ∙ √3.

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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