Questão 48 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

Com relação à equação matricial

correto afirmar que ela representa um sistema linear

(A) impossível.

(B) que apresenta apenas a solução trivial, ou seja, x = 0, y= 0 e z= 0.

(C) que apresenta apenas a solução x = 1, y= –1 e z= 0, além da solução trivial.

(D) que apresenta apenas a solução x= 3, y = 1 e z = –2, além da solução trivial.

(E) que apresenta infinitas soluções.

Solução: (E)

O resolvendo a equação matricial, obtemos o sistema linear de três incógnitas:

x + y + 2 ∙ z = 0

x – y + z = 0

2 ∙ x – 4 ∙ y + z = 0

Se tata de um sistema linear homogêneo, pois os termos independentes de todas as equações são nulas.

Sendo o numero de equação igual ao número de incógnitas podemos calcular o determinante D:

	1	1	2
D =	1	–1	1
	2	–4	1

	1	1	2
	1	–1	1
	2	–4	1
–4	1	1	2	–1
–4	1	–1	1	–8
1				2

D = (–1 – 8 + 2) – (–4 – 4 + 1) = 0

Como se trata de um sistema homogêneo, só há duas possibilidades: o sistema é determinado ou indeterminado.

Se D ≠ 0 então o sistema é determinado, neste caso, só existe a solução imprópria ou trivial: x = y = z = 0.

Se D = 0 então o sistema é indeterminado, neste caso, só existe a soluções próprias ou não nulas.

Sendo D = 0 o  sistema é indeterminado e possui infinitas soluções.

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.