Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 32 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

Um professor de Matemática propôs aos seus alunos que analisassem o gráfico que representa a distância D de um trem a uma estação para a qual ele se dirige em função do tempo t. A distância D é dada em quilômetros e o tempo t, em horas.



Analise as conclusões dos alunos: Marcos, João, Tiago, Lucas e Pedro

• Marcos: A distância D e o tempo t são inversamente proporcionais, pois se t aumenta D diminui e vice e versa.

• João: A função que representa a variação das grandezas D e t é decrescente e essas grandezas são diretamente proporcionais.

• Tiago: A função que representa a variação das grandezas D e t é do tipo polinomial do 2.º grau.

• Lucas: A distância D em função do tempo t pode ser expressa por D = 60 – 3t, sendo D em km e t em horas, com t variando de 0 a 3 horas..

• Pedro: A distância D em função do tempo t pode ser expressa por D = 60 – 20t, sendo D em km e t em horas, com t variando de 0 a 3 horas.

Está correta apenas a afirmação de

(A) Marcos.
(B) João.
(C) Tiago.
(D) Lucas.
(E) Pedro.

Solução: (E)

Esta questão envolve conceitos importantes no ensino da matemática.

As alternativas (A) e (B) envolvem conceitos de proporcionalidade apresentando as conclusões da maioria dos alunos. O professor deve utilizar diversos exemplos e contra-exemplos, realizar constante avaliação diagnostica e buscar novas metodologias de ensino para sanar o déficit de aprendizado nestes conceitos, visto que este assunto esta sempre presente em questões de concurso público.

(A) Marcos: “A distância D e o tempo t são inversamente proporcionais, pois se t aumenta D diminui e vice e versa” → Falso.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma grandeza aumenta a outra grandeza diminui na mesma proporção; e ao diminuir uma grandeza a outra grandeza aumenta na mesma proporção.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando ao multiplicar ou dividir uma delas por um número qualquer, a outra é divida ou multiplicada pelo mesmo número.

Segundo Minello e Epprecht (2.000 , p. 24):

Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então:

K = a1 ∙ b1 = a2 ∙ b2 = ... = an ∙ bn

K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.

O gráfico de grandezas inversamente proporcionais é uma hipérbole retângula.

Estabelece-se uma relação de inversamente proporcional entre duas grandezas quando: (a) a mais corresponde a menos; (b) a menos corresponde a mais. Não esqueça que a relação deve ser proporcional.

Exemplo: a velocidade e o tempo. A mais velocidade corresponde a menos tempo. A menos velocidade corresponde a mais tempo.

(B) João: “A função que representa a variação das grandezas D e t é decrescente e essas grandezas são diretamente proporcionais” → Falso

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma grandeza aumenta a outra grandeza aumenta na mesma proporção.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando ao multiplicar ou dividir uma delas por um número qualquer, a outra é multiplicada ou divida pelo mesmo número.

Segundo Minello e Epprecht (2.000 , p. 23):

Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3; ...; an) e B = (b1; b2; b3; ...; bn), então:

K = (a1/ b1) = (a2/ b2) = (a3/ b3) = ... = (an/ bn)

K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade.

O gráfico de grandezas diretamente proporcionais é uma reta que passa pela origem, sendo considerado um caso especial de função afim.

Estabelece-se uma relação de inversamente proporcional entre duas grandezas quando: (a) a mais corresponde a mais; (b) a menos corresponde a menos. Não esqueça que a relação deve ser proporcional.

Exemplo: o peso e o custo. A mais peso corresponde a mais custo. A menos peso corresponde a menos custo.

As alternativas (C), (D) e (E) estão relacionadas na analise e obtenção de informações de gráficos.

(C) Tiago: “A função que representa a variação das grandezas D e t é do tipo polinomial do 2.º grau” → Falso.

(D) Lucas: “A distância D em função do tempo t pode ser expressa por D = 60 – 3t, sendo D em km e t em horas, com t variando de 0 a 3 horas” → Falso.

(E) Pedro: “A distância D em função do tempo t pode ser expressa por D = 60 – 20t, sendo D em km e t em horas, com t variando de 0 a 3 horas” → Verdadeiro.

A figura mostra aparentemente que se trata do gráfico de uma equação do primeiro grau, entretanto sabemos que na matemática nem tudo que aparenta realmente é, por se tratar apenas de um intervalo de uma função, pode ser que exista uma leve curvatura não perceptível na impressão do gráfico.

O no episódio “Para onde foi o Quadrado” do programa “Isto é Matemática” mostra este fato de uma forma muito didática e ao mesmo tempo saborosa!


Vamos inicialmente considera como sendo uma função do primeiro grau, na forma de (t) = a ∙ t + b , conforme as incógnitas do enunciado.

Segundo o gráfico para t = 0 → D (0) = 60, logo:

(0) = a ∙ 0 + b → 60 = b

(t) = a ∙ t + b → (t) = a ∙ t + 60

Segundo o gráfico para t = 3 → D (3) = 0, logo:

(3) = a ∙ 3 + 60 → 0 = a ∙ 3 + 60 → – 20 = a

(t) = a ∙ t + 60 → (t) = – 20 ∙ a + 60 → (t) = 60 – 20 ∙ a

Quando substituímos os outros valores de t que são indicados no gráfico observamos que os resultados de D (t) são os mesmos.

Outra forma de resolver este problema é por meio de geometria analítica, considerando os pontos: (0 , 60); (1 , 40); (2 , 20) e (3 , 0).

Inicialmente determinamos a equação da reta formada pelos pontos extremos, (0 , 60) e  (3 , 0), e depois determinamos a equação da reta formada pelos pontos (1 , 40) e (2 , 20) pertencem a reta.

Equação da reta: y – y0 = m (x – x0) , onde m é o coeficiente angular da reta e P (x0 , y0) .

Para os pontos (0 , 60) e  (3 , 0):

m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (0 – 60) / (3 – 0) = – 20

y – 60 = – 20 (x – 0) → y = – 20 ∙ x + 60

Para os pontos (1 , 40) e (2 , 20):

m = (y2 – y1) / (x2 – x1) = (20 – 40) / (2 – 1) = – 20

y – 40 = – 20 (x – 1) → y = – 20 ∙ x + 60

As retas possuem o mesmo coeficiente angular a = m = – 20, logo são retas paralelas, além disso, possuem o mesmo coeficiente linear b = 60, portanto são retas paralelas coincidentes.
  
Referência: MINELLO, Roberto Domingos. EPPRECHT, Carlos Eduardo. Matemática Financeira e Comercial. Editora CopyMarket.com, 2000.

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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