Questão 9 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Considere a seqüência

a_n = log_b1 √5 + log_b2 √5 + ... + log_bn √5

onde b₁ = a (a > 1) e b_k+1 = ( b_k )² , k = 1 , ... , n – 1. Determine o valor de a para o qual a₁₀ = 1 – (1/2)¹⁰

A) 10

B) ­1/5

C) 1

D) 5

E) √5

Solução: (D)

Segundo o enunciado para a₁₀ → n = 10 , temos:

k = 1 , 2 , 3 , ... , 8 , 9

b₁ = a;

b₁₊₁ = b₂ = ( b₁ )² = ( a )² = a²

b₂₊₁ = b₃ = ( b₂ )² = ( a² )² = a⁴

b₃₊₁ = b₄ = ( b₃ )² = ( a⁴ )² = a⁸

( ... )

b₉₊₁ = b₁₀ = ( b₉ )² = ( a²⁵⁶ )² = a⁵¹²

a₁₀ = log_a √5 + log(_a²) √5 + log(_a⁴) √5 + log(_a⁸) √5 + .... + log(_a²⁵⁶) √5 + log(_a⁵¹²) √5

Realizando mudança de base nos logaritmos:

log(_a²) √5 = (log_a √5) / (log_a a²) = (log_a √5) / (2 ∙ log_a a) = (1/2) ∙ log_a √5

log(_a⁴) √5 = (log_a √5) / (log_a a⁴) = (log_a √5) / (4 ∙ log_a a) = (1/4) ∙ log_a √5

(...)

log(_a²⁵⁶) √5 = (log_a √5) / (log_a a²⁵⁶) = (log_a √5) / (256 ∙ log_a a) = (1/256) ∙ log_a √5

log(_a⁵¹²) √5 = (log_a √5) / (log_a a⁵¹²) = (log_a √5) / (512 ∙ log_a a) = (1/512) ∙ log_a √5

  

a₁₀ = log_a √5 + (1/2) ∙ log_a √5 + (1/4) ∙ log_a √5 + .... + (1/512) ∙ log_a √5

a₁₀ = log_a √5 [1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... + (1/256) + (1/512)]

1 – (1/2)¹⁰ = log_a √5 [1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... + (1/256) + (1/512)]

1 – (1/2)¹⁰ = log_a √5 [1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)⁴ + (1/2)⁸ + ... + (1/2)²⁵⁶ + (1/2)⁵¹²]

O somatório trata-se de um P.G. de razão q = 1/2 e a_n = 1

S_n = a₁ ∙ (qⁿ – 1) / (q – 1) → S₁₀ = 1 ∙ [(1/2)¹⁰ – 1] / [(1/2) – 1] =

= [(1/2)¹⁰ – 1] / [(1/2) – 1] = [1 – (1/2)¹⁰] / [1 – (1/2)] = = [1 – (1/2)¹⁰] / (1/2)

1 – (1/2)¹⁰ = log_a √5 [1 + 1/2 + (1/2)² + (1/2)⁴ + (1/2)⁸ + ... + (1/2)²⁵⁶ + (1/2)⁵¹²]

1 – (1/2)¹⁰ = log_a √5 {[1 – (1/2)¹⁰] / (1/2)}

1 = log_a √5  / (1/2)

1/2 = log_a √5

Segundo a definição de logaritmo:

1/2 = log_a √5 ↔ a^1/2 = √5 → √a = √5 então a = 5.

Agradecimento especial ao Monitor Luck do Fórum PiR2 pelo auxilio na resolução.