Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 9 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Considere a seqüência

an = logb1 √5 + logb2 √5 + ... + logbn √5

onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n – 1. Determine o valor de a para o qual a10 = 1 – (1/2)10

A) 10
B) ­1/5
C) 1
D) 5
E) √5

Solução: (D)

Segundo o enunciado para a10 → n = 10 , temos:

k = 1 , 2 , 3 , ... , 8 , 9

b1 = a;

b1+1 = b2 = ( b1 )2 = ( a )2 = a2

b2+1 = b3 = ( b2 )2 = ( a2 )2 = a4

b3+1 = b4 = ( b3 )2 = ( a4 )2 = a8

( ... )

b9+1 = b10 = ( b9 )2 = ( a256 )2 = a512

a10 = loga √5 + log(a2) √5 + log(a4) √5 + log(a8) √5 + .... + log(a256) √5 + log(a512) √5

Realizando mudança de base nos logaritmos:

log(a2) √5 = (loga √5) / (loga a2) = (loga √5) / (2 ∙ loga a) = (1/2) ∙ loga √5

log(a4) √5 = (loga √5) / (loga a4) = (loga √5) / (4 ∙ loga a) = (1/4) ∙ loga √5
(...)

log(a256) √5 = (loga √5) / (loga a256) = (loga √5) / (256 ∙ loga a) = (1/256) ∙ loga √5

log(a512) √5 = (loga √5) / (loga a512) = (loga √5) / (512 ∙ loga a) = (1/512) ∙ loga √5
  
a10 = loga √5 + (1/2) ∙ loga √5 + (1/4) ∙ loga √5 + .... + (1/512) ∙ loga √5

a10 = loga √5 [1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... + (1/256) + (1/512)]

1 – (1/2)10 = loga √5 [1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ... + (1/256) + (1/512)]

1 – (1/2)10 = loga √5 [1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)8 + ... + (1/2)256 + (1/2)512]

O somatório trata-se de um P.G. de razão q = 1/2 e an = 1

Sn = a1 ∙ (qn – 1) / (q – 1) → S10 = 1 ∙ [(1/2)10 – 1] / [(1/2) – 1] =

= [(1/2)10 – 1] / [(1/2) – 1] = [1 – (1/2)10] / [1 – (1/2)] = = [1 – (1/2)10] / (1/2)

1 – (1/2)10 = loga √5 [1 + 1/2 + (1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)8 + ... + (1/2)256 + (1/2)512]

1 – (1/2)10 = loga √5 {[1 – (1/2)10] / (1/2)}

1 = loga √5  / (1/2)

1/2 = loga √5

Segundo a definição de logaritmo:

1/2 = loga √5 ↔ a1/2 = √5 → √a = √5 então a = 5.

Agradecimento especial ao Monitor Luck do Fórum PiR2 pelo auxilio na resolução.
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