Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 4 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná– 2.013

O matemático, filósofo e médico Girolamo Cardano (1501–1576) publicou em 1545, na obra de sua autoria nominada de Ars Magna, a fórmula resolutiva de uma equação do terceiro grau que estivesse escrita na forma x3 + px + q = 0 em que p e q são números reais. Essa fórmula era desconhecida até Cardano publicá-la. Rafael Bombelli (1526–1573), em 1572, ao usar a fórmula proposta por Cardano, resolveu a equação x3 – 15x – 4 = 0 e obteve 3 raízes. Uma dessas raízes é:

A) 2 –  √2
B) 3 + √2
C) 2 – √3
D) – 2 – √3
E) – 3 + √2

Solução: (D)

No volume 3 do caderno do aluno (3° ano do ensino médio) adotado pela SEE / SP problema é apresentado da seguinte forma:

“Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal maneira que o volume do cubo seja 4 m3 maior do que o do paralelepípedo”.

Para quem gosta de História da Matemática conhece o caso envolvendo Niccolo Tartaglia e Girolano Cardano. Da mesma forma sabemos que Rafael Bombelli determinou que 4 é uma das raízes da equação x3 – 15 ∙ x – 4 = 0, logo:

43 – 15 ∙ 4 – 4 = 64 – 60 – 4 = 64 – 64 = 0

Então o polinômio x3 – 15 ∙ x – 4 é divisível por (x – 4).

O quociente desta divisão é o polinômio x2 + 4 ∙ x + 1 , cujas raízes são também raízes do polinômio x3 – 15 ∙ x – 4.

Calculando as raízes da equação x2 + 4 ∙ x + 1 = 0, obtemos x’ = – 2 + √3 e x’’ = – 2 – √3.

Então a solução da questão é (D) – 2 – √3.

Agora se você não é muito fã da História da Matemática e não tem estes conhecimentos se prepare papel, borracha e lápis para uma jornada no mundo dos teoremas e cálculos algébricos!

(1° Método)

Aplicando as Relações de Girard. Sabemos que uma equação do tipo:

a ∙ x3 + b ∙ x2 + c ∙ x + d = 0 → x3 + (b / a) ∙ x2 + (c / a) ∙ x + (d / a) = 0

Pode ser fatorada e escrita na forma:

(x – x1) ∙ (x – x2) ∙ (x – x3) = 0

Sendo x1 , x2 , x3 as raízes desta equação.

Efetuando as multiplicações indicadas em (x – x1) ∙ (x – x2) ∙ (x – x3) = 0

(x2 – x2 ∙ x – x1 ∙ x + x∙ x2) ∙ (x – x3) = 0

x3 – x3 ∙ x2 – x2 ∙ x2 +  x2 ∙ x3 ∙ x – x1 ∙ x2 +  x1 ∙ x3 ∙ x + x∙ x∙ – x∙ x2 ∙ x3 = 0

x3 – (x1 + x2 + x3) ∙ x2 + (x∙ x2 +  x1 ∙ x3 + x2 ∙ x3) ∙ x – x∙ x2 ∙ x3 = 0

Considerando

S1 = x1 + x2 + x3

S2 = x∙ x2 + x1 ∙ x3 + x2 ∙ x3

S3 = x∙ x2 ∙ x3

x3 – S1 ∙ x2 + S∙ x – S3 = 0

x3 – 15 ∙ x – 4 = 0 → x3 – 0 ∙ x2 + (– 15) ∙ x – 4 = 0

S1 = x1 + x2 + x3 = 0

S2 = x∙ x2 + x1 ∙ x3 + x2 ∙ x3 = – 15

S3 = x∙ x2 ∙ x3 = 4

Analisando

(1) S3 é o produto de três raízes então os divisores de 4 são possíveis raízes da equação. Os divisores de 4 são ± 1 , ± 2 e ±4. Observe que nenhuma das raízes pode ser nula.

(2) Se a equação tiver duas raízes simétricas, podemos obter a terceira raiz analisando S1. Sabemos que a soma de dois números simétricos é nula, então supondo que:

x1 + x2 = 0

S1 = x1 + x2 + x3 = 0 → x3 = x1 + x2

(3) Se a equação tiver duas raízes inversas, podemos obter a terceira raiz. Sabemos que o produto de um números pelo seu inverso é igual a 1.

x∙ x2 = 1

S3 = x∙ x2 ∙ x3 = 4 → S3 = 1 ∙ x3 = 4 → x3 = 4

Se 4 é raiz desta equação então o polinômio x3 – 15 ∙ x – 4 = 0 é divisível por (x – 4) e se é divisível o resto é nulo.

Aplicando o Teorema do Resto para verificar este fato e reduzir os cálculos. 

Teorema do Resto: O resto obtido na divisão de f(x) por (x – c) é igual ao valor numérico do polinômio f(x) para x = c, ou seja, f(c).

P(x) = x3 – 15 ∙ x – 4 → P(4) = 43 – 15 ∙ 4 – 4 = 0

Então 4 é raiz desta equação. Calculando as raízes da equação x2 + 4 ∙ x + 1 [o quociente de P(x) por (x – 4)], obtemos as outras raízes de P(x) : x’ = – 2 + √3 e x’’ = – 2 – √3.

Então a solução da questão é (D) – 2 – √3.

(2° Método)

Teorema: toda equação polinomial de grau impar e que os coeficientes são números reais tem, pelo menos, uma raiz real.

Podemos encontrar a raiz real, por meio do Teorema de Gauss.

Teorema de Gauss: Dada a equação polinomial de P(x) de grau “n” :

P(x) = a∙ xn + a∙ xn-1 + a∙ xn-2 + ... + an-1 ∙ an = 0

Com a0 ≠ 0 e an ≠ 0. Se esta equação admite uma raiz raciona xr , esta será na forma de

xr = q

Onde p e q são números inteiros e primo entre si, verificando-se assim que:

p = divisor do termo independente de P(x) → an

q = divisor do coeficiente principal de P(x) → a0

Deste modo tanto p como q geram dois conjuntos de números que devem ser escolhidos de forma que sejam primos entre si [Máximo Divisor Comum → m.d.c. (pq) = 1].

A raiz xr são todas as combinações dos divisores encontrados.

Para a equação P(x) = x3 – 15 ∙ x – 4, temos an = – 4 e  a0 = 1.

p = D(4) = {±1 , ±2 , ±4} e q = D(1) = {±1}

Calculando os valores de xr obtemos

xr = {– 4 , – 2 , – 1, 1 , 2 , 4}

Temos, portanto seis raízes para verificar, se P(x) é divisíveis por (x – xr). Realizando os cálculos descobriremos que P(x) é divisível apenas por (x – 4) logo 4 é uma raiz real de P(x).

Para facilitar o calculo utilizaremos o Teorema do Resto.

P(x) = x3 – 15 ∙ x – 4

P(– 4) = (– 4)3 – 15 ∙ (– 4) – 4 = – 8 → P(– 4) ≠ 0 , então – 4 não é raiz de P(x)

P(– 2) = (– 2)3 – 15 ∙ (– 2) – 4 = 18 → P(– 2) ≠ 0 , então – 2 não é raiz de P(x)

P(– 1) = (– 1)3 – 15 ∙ (– 1) – 4 = 10 → P(– 1) ≠ 0 , então – 1 não é raiz de P(x)

P(1) = (1)3 – 15 ∙ (1) – 4 = – 18 → P(1) ≠ 0 , então 1 não é raiz de P(x)

P(2) = (2)3 – 15 ∙ (2) – 4 = – 26 → P(2) ≠ 0 , então 2 não é raiz de P(x)

P(4) = (4)3 – 15 ∙ (4) – 4 = 0 → P(4) = 0 , então 4 é raiz de P(x) .

Então como sabemos o valor de uma raiz podemos determinar as outras conforme o Método 1.

Fontes:

LOZA, Armando Tori. LEYVA, Juan C. Problemas de Algebra y como resolverlos. Racso Editores: Peru, 1.998.

SÃO PAULO (estado), Secretaria da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 2ª série do Ensino Médio. 2º bimestre. São Paulo: SEE, 2.009.
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