O matemático, filósofo e médico Girolamo Cardano (1501–1576) publicou em 1545, na obra de sua autoria nominada de Ars Magna, a fórmula resolutiva de uma equação do terceiro grau que estivesse escrita na forma x3 + px + q = 0 em que p e q são números reais. Essa fórmula era desconhecida até Cardano publicá-la. Rafael Bombelli (1526–1573), em 1572, ao usar a fórmula proposta por Cardano, resolveu a equação x3 – 15x – 4 = 0 e obteve 3 raízes. Uma dessas raízes é:
A) 2 – √2
B) 3 + √2
C) 2 – √3
D) – 2 – √3
E) – 3 + √2
Solução: (D)
No volume 3 do caderno do aluno (3° ano do ensino médio) adotado pela SEE / SP problema é apresentado da seguinte forma:
“Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal maneira que o volume do cubo seja 4 m3 maior do que o do paralelepípedo”.
Para quem gosta de História da Matemática conhece o caso envolvendo Niccolo Tartaglia e Girolano Cardano. Da mesma forma sabemos que Rafael Bombelli determinou que 4 é uma das raízes da equação x3 – 15 ∙ x – 4 = 0, logo:
43 – 15 ∙ 4 – 4 = 64 – 60 – 4 = 64 – 64 = 0
Então o polinômio x3 – 15 ∙ x – 4 é divisível por (x – 4).
O quociente desta divisão é o polinômio x2 + 4 ∙ x + 1 , cujas raízes são também raízes do polinômio x3 – 15 ∙ x – 4.
Calculando as raízes da equação x2 + 4 ∙ x + 1 = 0, obtemos x’ = – 2 + √3 e x’’ = – 2 – √3.
Então a solução da questão é (D) – 2 – √3.
Agora se você não é muito fã da História da Matemática e não tem estes conhecimentos se prepare papel, borracha e lápis para uma jornada no mundo dos teoremas e cálculos algébricos!
(1° Método)
Aplicando as Relações de Girard. Sabemos que uma equação do tipo:
a ∙ x3 + b ∙ x2 + c ∙ x + d = 0 → x3 + (b / a) ∙ x2 + (c / a) ∙ x + (d / a) = 0
Pode ser fatorada e escrita na forma:
(x – x1) ∙ (x – x2) ∙ (x – x3) = 0
Sendo x1 , x2 , x3 as raízes desta equação.
Efetuando as multiplicações indicadas em (x – x1) ∙ (x – x2) ∙ (x – x3) = 0
(x2 – x2 ∙ x – x1 ∙ x + x1 ∙ x2) ∙ (x – x3) = 0
x3 – x3 ∙ x2 – x2 ∙ x2 + x2 ∙ x3 ∙ x – x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 ∙ x + x1 ∙ x2 ∙ x – x1 ∙ x2 ∙ x3 = 0
x3 – (x1 + x2 + x3) ∙ x2 + (x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x2 ∙ x3) ∙ x – x1 ∙ x2 ∙ x3 = 0
Considerando
S1 = x1 + x2 + x3
S2 = x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x2 ∙ x3
S3 = x1 ∙ x2 ∙ x3
x3 – S1 ∙ x2 + S2 ∙ x – S3 = 0
x3 – 15 ∙ x – 4 = 0 → x3 – 0 ∙ x2 + (– 15) ∙ x – 4 = 0
S1 = x1 + x2 + x3 = 0
S2 = x1 ∙ x2 + x1 ∙ x3 + x2 ∙ x3 = – 15
S3 = x1 ∙ x2 ∙ x3 = 4
Analisando
(1) S3 é o produto de três raízes então os divisores de 4 são possíveis raízes da equação. Os divisores de 4 são ± 1 , ± 2 e ±4. Observe que nenhuma das raízes pode ser nula.
(2) Se a equação tiver duas raízes simétricas, podemos obter a terceira raiz analisando S1. Sabemos que a soma de dois números simétricos é nula, então supondo que:
x1 + x2 = 0
S1 = x1 + x2 + x3 = 0 → x3 = x1 + x2
(3) Se a equação tiver duas raízes inversas, podemos obter a terceira raiz. Sabemos que o produto de um números pelo seu inverso é igual a 1.
x1 ∙ x2 = 1
S3 = x1 ∙ x2 ∙ x3 = 4 → S3 = 1 ∙ x3 = 4 → x3 = 4
Se 4 é raiz desta equação então o polinômio x3 – 15 ∙ x – 4 = 0 é divisível por (x – 4) e se é divisível o resto é nulo.
Aplicando o Teorema do Resto para verificar este fato e reduzir os cálculos.
Teorema do Resto: O resto obtido na divisão de f(x) por (x – c) é igual ao valor numérico do polinômio f(x) para x = c, ou seja, f(c).
P(x) = x3 – 15 ∙ x – 4 → P(4) = 43 – 15 ∙ 4 – 4 = 0
Então 4 é raiz desta equação. Calculando as raízes da equação x2 + 4 ∙ x + 1 [o quociente de P(x) por (x – 4)], obtemos as outras raízes de P(x) : x’ = – 2 + √3 e x’’ = – 2 – √3.
Então a solução da questão é (D) – 2 – √3.
(2° Método)
Teorema: toda equação polinomial de grau impar e que os coeficientes são números reais tem, pelo menos, uma raiz real.
Podemos encontrar a raiz real, por meio do Teorema de Gauss.
Teorema de Gauss: Dada a equação polinomial de P(x) de grau “n” :
P(x) = a0 ∙ xn + a1 ∙ xn-1 + a2 ∙ xn-2 + ... + an-1 ∙ x + an = 0
Com a0 ≠ 0 e an ≠ 0. Se esta equação admite uma raiz raciona xr , esta será na forma de
xr = p / q
Onde p e q são números inteiros e primo entre si, verificando-se assim que:
p = divisor do termo independente de P(x) → an
q = divisor do coeficiente principal de P(x) → a0
Deste modo tanto p como q geram dois conjuntos de números que devem ser escolhidos de forma que sejam primos entre si [Máximo Divisor Comum → m.d.c. (p, q) = 1].
A raiz xr são todas as combinações dos divisores encontrados.
Para a equação P(x) = x3 – 15 ∙ x – 4, temos an = – 4 e a0 = 1.
p = D(4) = {±1 , ±2 , ±4} e q = D(1) = {±1}
Calculando os valores de xr obtemos
xr = {– 4 , – 2 , – 1, 1 , 2 , 4}
Temos, portanto seis raízes para verificar, se P(x) é divisíveis por (x – xr). Realizando os cálculos descobriremos que P(x) é divisível apenas por (x – 4) logo 4 é uma raiz real de P(x).
Para facilitar o calculo utilizaremos o Teorema do Resto.
P(x) = x3 – 15 ∙ x – 4
P(– 4) = (– 4)3 – 15 ∙ (– 4) – 4 = – 8 → P(– 4) ≠ 0 , então – 4 não é raiz de P(x)
P(– 2) = (– 2)3 – 15 ∙ (– 2) – 4 = 18 → P(– 2) ≠ 0 , então – 2 não é raiz de P(x)
P(– 1) = (– 1)3 – 15 ∙ (– 1) – 4 = 10 → P(– 1) ≠ 0 , então – 1 não é raiz de P(x)
P(1) = (1)3 – 15 ∙ (1) – 4 = – 18 → P(1) ≠ 0 , então 1 não é raiz de P(x)
P(2) = (2)3 – 15 ∙ (2) – 4 = – 26 → P(2) ≠ 0 , então 2 não é raiz de P(x)
P(4) = (4)3 – 15 ∙ (4) – 4 = 0 → P(4) = 0 , então 4 é raiz de P(x) .
Então como sabemos o valor de uma raiz podemos determinar as outras conforme o Método 1.
Fontes:
LOZA, Armando Tori. LEYVA, Juan C. Problemas de Algebra y como resolverlos. Racso Editores: Peru, 1.998.
SÃO PAULO (estado), Secretaria da Educação. Caderno do Professor – Matemática da 2ª série do Ensino Médio. 2º bimestre. São Paulo: SEE, 2.009.
Comentários