Concurso Público – Professor I – Matemática

Concurso: Professor I – Matemática

Ano: 2.010

Órgão: Prefeitura Municipal do Rio de Janeiro

Instituição: Secretaria Municipal de Educação – SME

Questão: 02

Seja N = 3^a.5^b.9^c , em que a, b e c são números naturais. O número total de divisores positivos de N é igual a:

(A) (a+1).(b+1). (c+1)

(B) (a+2c+1).(b+1)

(C) a.(b+1).(c+2)

(D) a.b.c

Solução: (B)

N = 3^a ∙ 5^b ∙ 9^c = 3^a ∙ 5^b ∙ 3^2∙c = 3^(a+2∙c) ∙ 5^b

Segundo Domingues (1.991, p. 55): “para todo α pertence ao N*, indica-se por  τ (α) o número de divisores de α. Por exemplo: τ (1) = 1, τ (2) = 2, τ (3) = 2, τ (4) = 3 (os divisores de 4 são 1, 2, 4 – três no total). Se p é primo, então τ (p) = 2. Note-se que τ é uma função numérica definida em N*.

Vamos determinar uma fórmula para τ (a), sempre que a > 1. Supondo

a = p₁^α1 ∙ p₂^α2 ∙ ... ∙ p_s^αs (α₁, α₂, ... , α_s ≥ 1)

(...)

τ (α) = (α₁ + 1) ∙ (α₂ + 1) ∙ ... ∙ (α_s + 1)

”

τ (3^(a+2∙c) ∙ 5^b) = (a + 2 ∙ c + 1) ∙ (b + 1)

DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos da Aritmética. São Paulo: Atual, 1.991.