Questão 80 – Prova do Estado – (OFA) 2.010 – Professor de Educação Básica II

Para encerrar um jogo, a professora Clara sugeriu que cada um dos participantes desse um único abraço em cada um dos outros participantes do jogo. Sabendo-se que foram dados 153 abraços, no total, é correto dizer que o número de participantes do jogo era igual a

(A) 23.
(B) 21.
(C) 19.
(D) 18.
(E) 15.

Solução: (D)

Seja x o número de participante, então temos: o 1º participante: x – 1 abraços, não dá abraço em si mesmo; o 2º participante: x – 2 abraços, não dá abraço em si mesmo e não dá abraço no 1º participante (este abraço já foi contado nos abraços do 1º participante); o 3º participante: x – 3 abraços, não dá abraço em si mesmo e não dá abraço no 1º e 2º participantes (estes abraços já foi contado nos abraços do 1º e 2º participante, respectivamente); assim segue a sequência até o último participante que não dá abraços.

Observe que temos uma progressão aritmética decrescente cuja razão (r) é – 1, pois cada participante dá um abraço a menos que o anterior.

A soma total dos abraços é a soma total desta progressão onde o primeiro termo é (x – 1) , o último termo é 0 e o número de termos é o número de participantes.

S= [(a₁ + an) ∙ n] / 2 → 153 = [(x – 1  + 0) ∙ x] / 2 → 306 = x² – x → x² – x – 306 = 0

Calculando as raízes da equação do segundo grau obtemos 18 e – 17. Logo o número de  participantes é de 18 alunos.