Questão 77 – Prova do Estado – (OFA) 2.010 – Professor de Educação Básica II

Um aluno desenhou um losango no plano cartesiano, localizando dois vértices opostos nos pontos de coordenadas (–1,6) e (0,4). Sabendo-se que esses pontos são os extremos da diagonal menor do losango, pode-se concluir que a diagonal maior está contida na reta definida por

(A) x + 2y – 24 = 0.
(B) x – 2y + 24 = 0.
(C) 2x – 4y + 21 = 0.
(D) 2x + 2y + 21 = 0.
(E) 2x – 2y – 21 = 0.

Solução: (C)

Seja o segmento AB a diagonal menor do losango onde A (– 1, 6) e B (0 , 4). Devemos determinar a equação da reta perpendicular ao segmento de reta AB e que passa pelo ponto médio, M (x_m , y_m), deste segmento.

O ponto médio M (x_m , y_m) do segmento de reta AB é determinado por:

x_m = (x_A + x_B) / 2 = (– 1 + 0) / 2 = – 1 / 2

y_m = (y_A + y_B) / 2 = (6 + 4) / 2 = 5

Então M (– 1 / 2 , 5)

Duas retas são perpendiculares quando o produto dos seus coeficientes angulares é igual a – 1. O coeficiente angular (m_AB) da reta suporte do segmento AB é determinado por:

m_AB = (y_B – y_A) / (x_B – x_A) = (4 – 6) / (0 – (–  1)) = – 2 / 1 = – 2

Então o coeficiente angular (m) da reta perpendicular a reta AB é:

m_AB ∙ m = – 1 → – 2 ∙ m = – 1 → m = 1 / 2

Determinando a equação da reta de coeficiente angular 1 / 2 e passando por M (– 1 / 2 , 5), temos:

y – y_M = m ∙ (x – x_M) → y – 5 = (1 / 2) ∙ [x – (– 1 / 2)] →

→ y – 5 = (1 / 2) ∙ x + 1 / 4 → 4 ∙ y – 20 = 2 ∙ x + 1 → 4 ∙ y – 21 – 2 ∙ x = 0 →

→ 2 ∙ x – 4 ∙ y + 21= 0