Questão 67 – Prova do Estado – (OFA) 2.010 – Professor de Educação Básica II

Um professor solicitou que seus alunos provassem a proposição: “Todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante dos extremos desse segmento”. Um dos alunos apresentou a seguinte sequência de argumentos:

Seja o segmento AB e seja m a sua mediatriz, conforme representa a figura.

Considerando os triângulos APM e BPM, tem-se:

• a medida do segmento AM é igual à medida do segmento MB (M é ponto médio do segmento AB);
• PM (lado comum);
• observando a figura, conclui-se que a medida do segmento AP é igual à medida do segmento BP.

Logo, os triângulos APM e BPM são congruentes pelo caso LLL de congruência de triângulos. Consequentemente, qual-quer P, tal que P ∈ m, P é equidistante dos pontos A e B, que são os extremos do segmento dado.

A respeito dessa prova, pode-se dizer que

(A) está correta, pois todos os argumentos são válidos.
(B) está correta, embora não seja possível provar que os triângulos APM e BPM são congruentes, pois as medidas dos ângulos são desconhecidas.
(C) está incorreta, pois os dados são insuficientes para provar o que se pede.
(D) está incorreta, pois a igualdade entre as medidas dos segmentos AP e BP é fato que deve ser provado, logo, não pode ser usada como um argumento para a prova.
(E) está incorreta, pois M não é, necessariamente, ponto médio do segmento AB.

Solução: (D)

Seja o segmento AB e seja m a sua mediatriz, conforme representa a figura da questão.

Considerando os triângulos APM e BPM, tem-se: a medida do segmento AM é igual à medida do segmento MB (M é ponto médio do segmento AB); o ângulo entre os segmentos AM e MP é congruente ao ângulo entre os segmentos MB e MP, formando assim dois triângulos retângulos; PM (lado comum), logo o segmento AP é congruente ao segmente BP

Logo, os triângulos APM e BPM são congruentes pelo caso LAL de congruência de triângulos (se dois triângulos tem ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes). Consequentemente, qualquer P, tal que P ∈ m, P é equidistante dos pontos A e B, que são os extremos do segmento dado.

O aluno utilizou o critério de congruência errado, além de se basear apenas na observação de uma figura para concluir que o segmento AP é congruente ao segmento BP, sendo assim não realizou nenhuma prova.