O triângulo PQR foi obtido por uma homotetia aplicada ao triângulo ABC, segundo o coeficiente de proporcionalidade 3.
Sobre essa transformação geométrica, é correto dizer que
I. o perímetro de PQR é o triplo do perímetro de ABC.
II. a medida de um ângulo em PQR é o triplo da medida do ângulo correspondente em ABC.
III. a área de PQR é o triplo da área de ABC.
Analisando as afirmações, conclui-se que é verdadeiro o contido em
(A) I, apenas.
(B) III, apenas.
(C) I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.
Solução: (A)
Hometetia
de ponto: o ponto P é homotético de A pela homotetia de centro O e razão k,
portanto OP = k ∙ OA.
Homotetia
de segmento: inicialmente, perceba que o ponto R foi gerado por meio de OR = k ∙
OC. Dessa forma, obtemos OR / OC = OP / AO = k, ou seja, PR \\ AC, pela
recíproca do Teorema de Tales, logo a hometetia de segmentos gera segmentos paralelos.
Homotetia
de triângulos: inicialmente, perceba que o ponto Q foi gerado por meio de OQ =
k ∙ OB. Pela hometetia de segmentos, temos PQ //AB e RQ // CB. Logo o triângulo
ABC é semelhante ao triângulo PQR, logo a hometetia de triângulos gera
triângulos semelhantes e com lados paralelos.
I.
o perímetro de PQR é o triplo do perímetro de ABC → Verdadeiro
Segundo
o conceito de semelhança de triângulos, os lados dos triângulos PQR é obitido multiplicando
por 3 os lados correspondentes do triângulo ABC, temos: PQ = 3 ∙ AB; QR = 3 ∙ BC;
RP = 3 ∙ CA, então:
Perímetro
= PQ + QR + RP = 3 ∙ AB + 3 ∙ BC + 3 ∙ CA = 3 ∙ (AB + BC + CA)
Sendo
que (AB + BC + CA) é o perímetro do triângulo ABC.
II. a medida de um ângulo em PQR é o triplo da medida do ângulo correspondente
em ABC → Falso
Segundo
a definição triângulos semelhante os ângulos internos correspondentes são
congruentes. Sendo este fato um dos critérios de semelhança.
III. a área de PQR é o triplo da área de ABC → Falso
Por
meio dos critérios de semelhança de triângulos as alturas correspondentes são
proporcionais, logo tanto a base quanto a altura do triângulo PQR é multiplicado
pelo coeficiente de proporcionalidade, no caso 3.
No
triângulo ABC temos b como medida da base e h como medida da altura e no
triângulo PQR temos 3 ∙ b como medida da base e 3 ∙ h como medida da altura.
ÁreaΔABC
= (b ∙ h) / 2
ÁreaΔPQR
= [(3 ∙ b) ∙ (3 ∙ h)] / 2 = (32 ∙ b ∙ h) / 2 = 9 ∙ [(b ∙ h) / 2]
Comentários