Questão 26 – Prova do Estado – (OFA) 2.010 – Professor de Educação Básica II

O alcance A de uma estação de TV está relacionado com a altura h da antena da emissora de forma aproximada por A(h) = 4.10³√(2h) (com A e h medidos em metros).

A respeito desses dados, pode-se afirmar que

(A) o alcance A e a altura h são grandezas diretamente proporcionais.
(B) o alcance A e a altura h são grandezas inversamente proporcionais.
(C) a representação gráfica de A(h) é uma reta.
(D) se a altura da torre for triplicada, o alcance dessa torre passará a ser nove vezes o anterior.
(E) se a altura da torre for reduzida à metade, o alcance dessa torre passará a ser √2 / 2 vezes o anterior.

Solução: (E)

 

(A) o alcance A e a altura h são grandezas diretamente proporcionais → Falso
(B) o alcance A e a altura h são grandezas inversamente proporcionais → Falso
(C) a representação gráfica de A(h) é uma reta → Falso

Analisando A(h): 

 

A(h) = 4 ∙ 10³ ∙ √ (2 ∙ h) → A(h) = 4 ∙ 10³ ∙ √2  ∙ √ h → A(h) = 4 ∙ 10³ ∙ 2^1/2 ∙ h^1/2

A função f (x) = √ x é a função inversa de f (x) = x² para x ≥ 0. O gráfico da função A (h) é uma parábola com a concavidade voltada para a direita, sendo considerada somente parte positiva (parte acima do eixo das abscissas).

As grandezas diretamente proporcionais possuem uma variação linear, logo seu gráfico é uma reta que passa pela origem (x > 0) e sua equação é y = k ∙ x . As grandezas inversamente proporcionais possuem uma variação cuja curva é uma hipérbole, onde x > 0 e sua equação é y = k / x.

(D) se a altura da torre for triplicada, o alcance dessa torre passará a ser nove vezes o anterior → Falso

A(3 ∙ h) = 4 ∙ 10³ ∙ √ [2 ∙ (3 ∙ h)] → A(3 ∙ h) = 4 ∙ 10³ ∙ √ (6 ∙ h)

A(3 ∙ h) / A(h) = √ (6 ∙ h) / √ (2 ∙ h) = √ 3 → A(3 ∙ h) = A(h) ∙ √ 3

(E) se a altura da torre for reduzida à metade, o alcance dessa torre passará a ser √2 / 2 vezes o anterior → Verdadeiro

A(h / 2) = 4 ∙ 10³ ∙ √ [2 ∙ (h / 2)] → A(h / 2) = 4 ∙ 10³ ∙ √ h

A(h / 2) / A(h) = √ h / √ (2 ∙ h) = √ 2 / 2 → A(h / 2) = A(h) ∙ (√ 2 / 2)