Questão 01 – Concurso Público – 1.998 – Professor de Educação Básica II

A medida do menor ângulo interno de um polígono convexo é 139º e as medidas dos outros ângulos formam com a medida deste uma progressão aritmética cuja razão é 2º. Nestas condições, o polígono pode ter

(A) 6 lados.
(B) 8 lados.
(C) 12 lados.
(D) 13 lados.
(E) 15 lados.

Solução: (C)

A soma S_n dos n termos de uma progressão aritmética (a₁ , a₂ , ... , a_n , ...) é obtida pela fórmula:

S_n = [(a₁ + a_n) ∙ n] / 2

Sendo a₁ = 139º e a_n obtido por a_n = a₁ + (n – 1) ∙ r , onde r é a razão da progressão aritmética.

a_n = a₁ + (n – 1) ∙ r → a_n = 139 + (n – 1) ∙ 2 = 137 + 2 ∙ n

S_n = [(139 + (137 + 2 ∙ n)) ∙ n] / 2 = [(276 + 2 ∙ n) ∙ n] / 2 = 138 ∙ n + n²

A soma dos termos desta progressão aritmética é a soma dos ângulos internos deste polígono convexo. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é

S_n = (n – 2) ∙ 180º = 180 ∙ n – 360

Igualando os valores de S_n temos:

138 ∙ n + n² = 180 ∙ n – 360 → n² – 42 ∙ n + 360 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos duas raízes: 12 e 30, logo existe duas possíveis possibilidades de polígonos: um polígono convexo de 12 lados ou um polígono convexo de 30 lados.