Concurso: Professor
Padrão P – Grau 1 - Matemática
Ano: 2.011
Órgão: Secretaria da
Educação do Estado da Bahia
Instituição: CESPEUNB –
Centro de Seleção e Promoção de Eventos
Questão: 22
Empresas que comercializam itens alimentícios precisam estabelecer uma política
de reposição desses itens bem como de seu armazenamento. Se elas comprarem
muito, terão despesas de armazenagem, tais como seguro e custo do capital
investido no estoque. Mas, se comprarem pouco, terão as despesas dos sucessivos
pedidos, que envolvem pessoal para realizar e acompanhar esses pedidos, para o
transporte do produto, entre outros serviços. Assim, para minimizar o custo de
estocagem, considera-se que uma empresa deva minimizar a soma do custo dos
pedidos com o custo do armazenamento dos itens em cada pedido, calculando este
último sobre a quantidade média de itens comprada em dois períodos
consecutivos.
Considerando tais informações, suponha que um distribuidor de polpas de frutas
congeladas estime que venderá, ao longo de um ano, 1.000 pacotes de polpa.
Suponha, ainda, que a política desse distribuidor seja fazer pedidos regulares,
isto é, comprar os pacotes de polpa em intervalos de tempo iguais e em
quantidades iguais. Sabendo-se que o custo de cada entrega é de R$ 128,00 e que
a armazenagem de cada pacote de polpa custa R$ 10,00 ao ano, o custo de
estocagem será mínimo se as quantidades de pedidos e de itens comprados em cada
período forem, respectivamente, iguais a
(A) 4 e 113.
(B)
6 e 80.
(C)
9 e 113.
(D)
6 e 160
Solução: (D)
Seja
C o custo de estocagem, p o número de pedidos, q
a quantidade de pacotes de polpa de fruta em cada pedido.
O
custo de estocagem é a soma do custo de entrega do pedido (R$ 128,00 fixo) com
o custo do armazenamento dos itens em cada pedido (R$ 10,00 por cada pacote de
polpa por ano). Como os pedidos serão realizados dentro de um ano logo em cada
pedido será pago uma fração do custo de R$ 10,00, logo devemos dividir este
valor pelo n´[úmero de pedidos visto que são períodos iguais.
Segundo
o enunciado a quantidade de pacotes de polpa de fruta em cada pedido é sempre a
mesma e é realizada em intervalo de tempo igual, portanto o custo de armazenagem
que é calculando sobre a quantidade média de itens comprada em dois períodos
consecutivos não sofre variações entre um pedido e outro.
Em
cada pedido temos: C = R$ 128,00 + (R$ 10,00 / p) ∙ q .
Calculando
em cada alternativa o temos o custo total C
= p ∙ [128,00 + (10,00 / p) ∙ q ] , portanto:
(A)
→ p ∙ [128,00 + (10,00 / p) ∙ q ] = 4 ∙ [128,00 + (10,00 /
4) ∙ 113 ] = R$ 1.642,00 ,
sendo 452 unidades de polpa;
(B)
→ p ∙ [128,00 + (10,00 / p) ∙ q ] = 6 ∙ [128,00 + (10,00 /
6) ∙ 80 ] = R$ 1,568,00 , sendo
480 unidades de polpa;
(C)
→ p ∙ [128,00 + (10,00 / p) ∙ q ] = 9 ∙ [128,00 + (10,00 /
9) ∙ 113 ] = R$ 2.282,00 ,
sendo 1017 unidades de polpa;
(D)
→ p ∙ [128,00 + (10,00 / p) ∙ q ] = 6 ∙ [128,00 + (10,00 /
6) ∙ 160 ] = R$ 2.368,00 ,
sendo 960 unidades de polpa;
Observe
que o distribuidor estimou que a venda de aproximadamente 1000 pacotes de polpa
pelo menor custo de estocagem, portanto não deve exceder este limite e tão
pouco ficar muito abaixo deste valor, logo a alternativa (D) é a que melhor
satisfaz as condições do problema. No item (C) a quantidade acima de 1000
unidades de polpa não satisfaz a expectativa da empresa
Resolução
por meio de cálculo (baseado na resolução do fórum: Fórum PiR2):
C
=
R$ 128,00 ∙ p + (R$ 10,00 / p)
∙ q
Determinando
C em função de p temos que considerar o total de 1000 unidades de polpas, sendo
que em cada pedido é realizado a compra de 1000 / p unidades de polpas.
C(p) = 128,00 ∙ p + (10,00 / p) + (1000 /
p) = 128,00 ∙ p + 10000,00 / p2
Determinando
o mínimo desta função devemos calcular a derivada de C(p):
C’(p) = 128,00 – 20000,00 / p3
Sendo C’(p) = 0 → p ≈ 5,386 ≈ 6 → q = 1000
/ p = 166,6...≈ 167 → n ≈ 160.
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