Questão 77 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Os vértices do quadrado na figura representam, no plano de Argand-Gauss (plano complexo), todas as raízes de um polinômio p(x) unitário, isto é, cujo coeficiente do termo de maior grau é 1.

 
O resto da divisão de p(x) pelo polinômio q(x) = x³ – 2x² + 4x – 8 é

(A) – 97.
(B) – 65.
(C) 0.
(D) 65.
(E) 97.

Solução: (B)

 

Segundo o enunciado temos que o polinômio possui quatro raízes (vértices do quadrado), portanto temos um polinômio do quarto grau.

O polinômio do quarto grau segue a seguinte forma: a∙x⁴ + b∙x³ + c∙x² + d∙x + e = 0 com a ≠ 0.

Segundo o Teorema da Decomposição todo polinômio p(x) pode ser escrito na forma fatorada:

p(x) = a (x – x₁) ∙ (x – x₂) ∙ (x – x₃) ∙ ... ∙ (x – x_n)

Onde x₁, x₂, x₃, ... , x_n são raízes do polinômio p(x), e a é o coeficiente que acompanha o termo de maior grau.

O enunciado indica que a = 1, portanto o polinômio p(x) possui a seguinte forma: x⁴ + b∙x³ + c∙x² + d∙x + e = 0. As raízes de p(x) são 3, – 3, 3i e – 3i.

p(x) = 1 (x – 3) ∙ (x + 3) ∙ (x – 3i) ∙ (x + 3i) = 0

p(x) = (x² + 3x – 3x – 9) (x² + 3ix – 3ix – 9i²)

p(x) = (x² – 9) (x² – 9i²)

p(x) = (x² – 9) (x² + 9)

p(x) = x⁴ – 81

Realizando a divisão p(x) por q(x):

x4	0 x3	0 x2	0 x1	– 81	x3 – 2x2 + 4x – 8
– x4	2 x3	– 4 x2	8 x		x + 2
	2 x3	– 4 x2	8 x	– 81
	– 2 x3	4 x2	– 8 x	16
				– 65

O resto da divisão é – 65. 

Resolução a pedido da Profª. Cleonice.