Questão 74 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Uma piscina, no formato de paralelepípedo reto retângulo, precisa ser construída com altura de 2 metros e comportar o maior volume possível de água com o perímetro de sua base igual a 80 metros. Esse maior volume, em metros cúbicos, é

(A) 400.
(B) 600.
(C) 800.
(D) 1 000.
(E) 1 200.

Solução: (C)

 

O volume do paralelepípedo é obtido pelo produto da área da base pela altura.

O perímetro da base é 80 m, sendo x e y as medidas dos lados da base do paralelepípedo, temos:

Perímetro = 2 ∙ x + 2 ∙ y

80 = 2 ∙ x + 2 ∙ y

40 = x + y

Como a base trata-se de um retângulo podemos calcular a área pelo produto dos lados:

Áreabase = x ∙ y

Observe que y = 40 – x, logo

Área_base = x ∙ y = x ∙ (40 – x) = 40 ∙ x – x²

Área_base = 40 ∙ x – x² → A (x) = 40 ∙ x – x²

Desta forma condicionamos a medida da área da base em função de apenas a medida de um dos lados.

A área da base é obtida por uma função do segundo grau (A (x) = a∙x2 + b∙x + c), sendo o valor do coeficiente a < 0, então o gráfico desta função é uma parábola que possui a concavidade voltada para baixo, logo o valor máximo da área da base se localiza no vértice da parábola.

Calculando o valor da abscissa do vértice, que representa a medida do lado da base:

v_x = – b / (2 a) = – 40 / [2 (– 1 )] = 20

Calculando A (20), obtemos a área máxima da base:

A (20) = 40 ∙ 20 – (20)² = 800 – 400 = 400 m²

Calculando o volume da piscina, temos:

Volume_piscina = Área_base ∙ altura = 400 m² ∙ 2 m = 800 m³