Dos cinco objetos planos relacionados a seguir, o único que NÃO pode ser construído utilizando-se apenas lápis, régua e compasso é um
(A) segmento de reta cuja medida é π centímetros.
(B) ângulo com medida 22°30’.
(C) arco de circunferência cuja medida, em centímetros, equivale a um quarto da medida da circunferência que o contém.
(D) losango com perímetro de 4 √ 5 centímetros e ângulos de 60º e 120º.
(E) triângulo isósceles retângulo cuja hipotenusa mede 13 centímetros.
Solução: (A)
Segmento de reta cuja medida é π centímetros → não é possível
O número π é um número irracional e transcendental (provado em 1882 o matemático alemão Ferdinand von Lindemann), ou seja, não é solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros não todos nulos.
“O primeiro matemático a publicar efetivamente uma demonstração da impossibilidade de se efetuarem determinadas construções geométricas apenas com régua e compasso foi o francês Pierre Laurent Wantzel, em 1837.
Como é que se pode demonstrar que é impossível efetuar uma determinada construção com régua e compasso? É claro que para mostrar que uma certa construção é possível basta levá-la efetivamente a cabo. O que Wantzel conseguiu provar, influenciado pelas ideias de Gauss, foi que se se conseguir, partindo de dois pontos A e B, construir um ponto C com régua e compasso, então o quociente q entre as distâncias de A a C e de A a B tem as seguintes propriedades:
- o número q é solução de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros não todos nulos (ou seja, é aquilo que se designa por um número algébrico);
- se P(x) = 0 for uma equação polinomial de grau mínimo entre as equações polinomiais com coeficientes inteiros não todos nulos das quais q é uma solução, então o grau de P(x) é uma potência de 2.”
Portanto não temos condições de construir o segmento de reta com a medida de π utilizando somente régua e compasso.
Fonte: http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/quadratura.html. Acesso: 31/12/2.012
Ângulo com medida 22°30’ → é possível
22º30’ = 22,5º, ou seja, podemos determinar a bissetriz de um ângulo de 45º, este processo é possível utilizando somente régua e compasso.
Arco de circunferência cuja medida, em centímetros, equivale a um quarto da medida da circunferência que o contém → é possível
Esta construção é obtida dividindo-se a circunferência em quatro partes iguais, este processo é possível utilizando somente régua e compasso.
Losango com perímetro de 4 √ 5 centímetros e ângulos de 60º e 120º → é possível
O losango possui todos os lados com a mesma mediada, portanto devemos construir u losango de lado com medida √ 5, esta medida pode ser obtida por meio de régua e compasso com o auxilio de uma “espiral pitagórica” ou construindo-se um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm e 1 cm, assim obtemos uma hipotenusa de medida √ 5 cm.
Triângulo isósceles retângulo cuja hipotenusa mede 13 centímetro → é possível
Para se construir este triângulo, inicialmente constrói-se o segmento de medida 13 que será a hipotenusa. Escolhemos um lado deste segmento para realizar as seguintes construções: na extremidade deste segmento construímos um reta formado um ângulo de 45º; e na outra extremidade construímos uma reta formando um ângulo de 135º. A intersecção destas retas forma os lados do triângulo.
Outra forma é constrói-se o segmento de medida 13 que será a hipotenusa. Determina-se a mediatriz deste segmento. Constrói-se uma circunferência de raio 6,5 cm e cujo centro localiza-se na intersecção entre a mediatriz e o segmento de 13 cm. Traça-se dois segmentos de reta partindo das extremidades dos segmentos ao ponto da intersecção da mediatriz com a circunferência.
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