Questão 56 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Sejama, b ecretas paralelas distintas, com b entre a e c, tais que a distância entre a e b seja 5 e a distância entre b e c seja 7. A área de um quadrado ABCD em que A ∈ a, B ∈ b e C ∈ c é igual a

(A) 35.
(B) 42.
(C) 50.
(D) 74.
(E) 144.

Solução: (D)

A Figura 1 mostra a construção partindo dos dados do problema.

Figura 1: Construção obtida pelos dados do enunciado.

Iniciaremos construindo duas perpendiculares a reta b, uma passando por A que chamaremos AM e outra passando por C que chamaremos de CN, formando assim dois triângulos retângulos: o triângulo AMB (reto em M) e o triângulo CNB (reto em N), onde AM e CN são alturas deste triângulo. Observe a Figura 2.

Figura 2: Construção das perpendiculares AM e CN.

Na Figura 3 realizamos um estudo referente às propriedades dos ângulos. O menor ângulo entre o lado AB e a reta a e o menor ângulo entre o lado AB e a reta b (o ângulo ABM) são ângulos alternos internos, logo são congruentes.

Figura 3: Estudo relacionado aos ângulos formados entre os lados do quadrado e as retas paralelas.

Os ângulos ABM e CBN são complementares (a soma destes ângulos é 90º). Logo o ângulo CBN é côngruo ao ângulo BAM.

Segundo o critério de caso de congruência entre triângulos basta que apenas dois ângulos e um lado sejam congruentes para que os triângulos sejam congruentes. Portanto os triângulos AMB e CNB são congruentes.

Pelo Teorema de Pitágoras podemos determinar a medida do lado do quadrado:

h² = c² + c²

 

h² = 7² + 5² = 49 + 25 = 74

h = √ 74

Área_quadrado = (lado)² = (√ 74)² = 74

Resolução a pedido da Profª. Cleonice.