O número cem, de largo emprego na linguagem popular, aparece, também, em muitas recreações matemáticas. As curiosidades numéricas, que envolvem o número cem, sugerem problemas que despertam muito interesse entre os que estudam e cultivam a matemática.
Os matemáticos que se interessam pelas curiosidades numéricas, dispensam notória atenção ao número 100.
Em Aritmética Recreativa vamos encontrar dezenas de problemas relacionados com o número cem, com certos divisores de 100, com potências de 100, com o indicador de 100, etc.
Citaremos, para servir de exemplo, três problemas já resolvidos e discutidos pelos apreciadores de enigmas aritméticos.
1 – Escrever com quatro noves uma expressão igual a 100;
2 – Escrever com quatro cincos uma expressão igual a 100;
3 – Escrever com quatro quatros uma expressão igual a 100.
As soluções para estes três problemas são:
99 + (9 / 9)
(5 + 5) . (5 + 5)
(4! . 4) + √ (4 . 4)
O matemático não satisfeito volta a insistir sobre o caso:
– Poderá você, com cinco algarismos iguais a três (empregando os sinais de operação usuais) escrever uma expressão igual a 100?
A solução para o caso, não oferece qualquer dificuldade:
(3 . 33) + 3
Em seu número de agosto de 1.935, a revista belga Sphinx estampou interessante artigo, de G. Fistie, no qual esse matemático expunha e comentava as “cem maneiras de escrever o número 100”, sob a forma de expressões constituídas pelos nove algarismos significativos, figurando, na mesma expressão, cada algarismo uma única vez.
Citemos um exemplo, colhido ao acaso, no meio dos cem:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 . 9
O valor dessa expressão é 100, e nela figuram os noves algarismos significativos, e (convém insistir), cada um deles só aparece uma vez.
A solução, para ser legitima, precisa atender às seguintes condições:
1 – devem figurar, na expressão, os noves algarismos significativos sendo, cada um deles, empregados uma só vez;
2 – a expressão não devem conter denominadores, nem radicais;
3 – os algarismos devem aparecem, na expressão, em ordem crescente de seus valores.
O matemático Perelman apresentou em sua Recreational Arithmetic, inúmeros exemplos, dos quais destacamos os seguintes:
1 + 2 . 3 + 4 . 5 – 6 + 7 + 8 . 9
1 . 2 + 34 + 56 + 7 – 8 + 9
12 – 3 – 4 + 5 – 6 + 7 + 89
123 + 45 – 67 + 8 – 9
123 – 45 – 67 + 89
Seguindo a mesma trilha de Perelman tentamos resolver o problema, e encontramos a seguinte solução que nos pareceu válida e bem curiosa:
(1 + 2 – 3 – 4) . ( 5 – 6 – 7 – 8 – 9)
O primeiro fator é – 4 (negativo); o segundo fator, também negativo, é – 25. O produto é, portanto, positivo e igual a 100.
Os solucionistas admitem, como legitima, a seguinte solução na qual figuram termos negativos, fatores e um expoente:
– 1 + 23 – (4 . 5) + (6 + 7) . 8 + 9
Podemos, sem dificuldades, construir uma centenal perfeita com dois fatores e termos isolados:
(1 + 2 + 3 + 4) . (5 + 6) + 7 – 8 – 9
Uma das mais curiosas seria a seguinte:
1! + 2! + 3 + 4! + 5 . (6 + 7 – 8 + 9)
que apresenta três fatoriais e um produto.
Empregando-se apenas um fatorial e termos negativos:
1 – 2 – 3 + 4! . 5 – 6 + 7 – 8 – 9
Com o primeiro termo negativo e todos os outros positivos, podemos escrever:
– 123 + 4 + 5! + 6 . (7 + 8) + 9
É licito formar ainda uma expressão perfeita com emprego de expoente tendo o primeiro termo negativo. Aqui esta um exemplo:
– 1 . 2 + 34 + 5 + 6 – 7 + 8 + 9
O artigo de G. Fistie, para aqueles que cultivam as curiosidades matemáticas, é interessante. É possível, porém, ampliá-lo e estudar “as cem mil maneiras de escrever o número 100”.
Realmente. Para que ficar nas cem, se há, certamente, mais de cem mil?
Com um pouco de paciência, chegaríamos até lá.
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111 – 11 (A) | (2 . 2 . 2 +2)2 (B) | [2 . (2 + 2)! + 2] . 2 (C) |
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| 5! + 5 – 5 . 5 (D) | {6! – [6 – (6 / 6)]!} / 6 (E) | 88 + 8 + √(8 + 8) (F)
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Acima vemos várias maneiras de escrever 100, empregando um número mínimo de algarismo iguais.
É claro que além dos algarismos iguais, ligados por sinais de operação, não poderá, a expressão indicada, conter nenhum outro algarismo ou letra.
Observem os exemplos bem curiosos:
(A) Expressão igual a 100 com cinco uns;
(B) Expressão igual a 100 com cinco dois;
(C) Expressão igual a 100 com cinco dois;
(D) Expressão igual a 100 com quatro cincos;
(E) Expressão igual a 100 com cinco seis;
(F) Expressão igual a 100 com cinco oito.
Surge o problema: seria possível escrever uma expressão igual a 100 com cinco setes?
Ou ainda: qual é o numero mínimo de setes com que podemos escrever uma expressão igual a 100? A notação americana, adotada para os números decimais (substituindo o zero vírgula por um ponto) permite escrever 100 com quatro setes. Muitos solucionistas desaprovam esse artificio.
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