Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas (UFSCAR - 2.008)

Concurso: Programa de Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas – Exame de Ingresso – 1ª Etapa.

Ano: 2.008

Instituição: UFSCAR

Questão: 2

O problema 14 do Papiro Matemático de Moscou constitui-se no cálculo do volume de um tronco de pirâmide. Um tronco de pirâmide é o sólido resultante do corte de uma pirâmide por um plano paralelo à sua base retirando-se a pirâmide menor obtida por este corte. Se o tronco de pirâmide tem uma base quadrada de lado a, um topo quadrado de lado b, e sua altura é h, então, como perceberam os egípcios antigos, o volume do tronco de pirâmide é:

(h / 3) . (a² + a . b + b²)

Usando o fato que o volume de uma pirâmide é (1 / 3) x área da base x altura, mostre que a fórmula egípcia para o volume do tronco de pirâmide está correta.

Solução:

Observe a figura:

Para verificar se a fórmula egípcia está correta temos que:

• H é a altura da pirâmide original;
• h' é a altura da pirâmide retirada para formar o tronco de pirâmide;
• h é a altura do tronco de pirâmide;
• a é a medida do lado da base do tronco de pirâmide;
• b é a medida do lado do topo da pirâmide;
• V é o volume da pirâmide original;
• v' é o volume da pirâmide retirada para formar o tronco de pirâmide, e;
•  v é o volume do tronco de pirâmide.

Partindo destes dados, temos:

v = V – v’

h = H – h’ → H = h + h’

A área da base da pirâmide original é igual a a², e a área da base da pirâmide retirada é igual a b².

V = (1 / 3) . a² . H = (1 / 3) . a² . (h + h’)

v’ = (1 / 3) . b² . h’

v = V – v’ = (1 / 3) . a² . (h + h’) – (1 / 3) . b² . h’ =

= (1 / 3) . [(a² . h) + (a² . h’) – (b² . h’)] = (1 / 3) . {(a² . h) + [(a² – b² ). h’]}

v = (1 / 3) . {(a² . h) + [(a² – b² ). h’]}

A pirâmide original e a pirâmide retirada são semelhantes, então tem os ângulos ordenadamente congruentes e as arestas das bases, arestas laterais, altura e demais elementos homólogos são proporcionais.

Calculando h’:

Sendo a altura da pirâmide original e da pirâmide retirada, proporcionais, calculamos a razão de proporcionalidade (k):

k = (H / h’)

A razão entre as áreas das bases é igual ao quadrado da razão de semelhança.

(a² / b²) = k² = (H / h’)²

(a² / b²) = (H / h’)² → √(a² / b²) = (H / h’) → (a / b) = (H / h’)

a . h’ = H . b → a . h’ = (h + h’) . b → a . h’ = b . h + b . h’

a . h’ – b . h’ = b . h

h’ . (a – b) = b . h

h’ = (b . h) / (a – b)

Substituindo h’ em v, temos:

v = (1 / 3) . {(a² . h) + [(a² – b²) . h’]} =

= (1 / 3) . {(a² . h) + [(a – b) . (a + b) . [(b . h) / (a – b)]]} =

= (1 / 3) . {(a² . h) + [(a + b). (b . h)]} =

= (1 / 3) . {(a² . h) + [(a . b + b²). h]} =

= (1 / 3) . {h . (a² + a . b + b²)} = (h / 3) . (a² + a . b + b²)

Para saber mais, consulte:

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar – volume 10 – geometria espacial: posição e métrica. 5.ed. São Paulo: Atual, 1993. p.268-278