Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas (UFSCAR - 2.008)

Concurso: Programa de Pós-Graduação de Ensino de Ciências Exatas – Exame de Ingresso – 1ª Etapa.

Ano: 2.008

Instituição: UFSCAR

Questão: 1

Utilizando os triângulos isósceles da figura abaixo mostre que:

(a) x = (√5 – 1) / 2

(b) cos 72º = (√5 – 1) / 4

Solução:

(a)

 

Indicando os vértices no triângulo temos o triângulo ABC e o triângulo CBD.

No triângulo CBD, o ângulo D mede 72º. Observe que o ∆_ABC é semelhante ao ∆_CBD :

 

∆ABC	∆CBD
ângulo A ≡ ângulo C
ângulo C ≡ ângulo D		→	∆ABC ~ ∆CBD
ângulo B é ângulo comum

Assim temos: 

(AB / BC) = (CB / BD)

(1 / x) = [x / (1 – x)]

x . x = 1 . (1 – x)

x² = 1 – x

x² + x – 1 = 0

Determinando as raízes desta equação do segundo grau, obtemos:

x₁ = (– 1 + √5) / 2

x₂ = (– 1 – √5) / 2

Não utilizamos valores negativos para determinar medidas, portanto:

x = (– 1 + √5) / 2 = (√5 – 1) / 2

(b)

Indicando os vértices no triângulo temos o triângulo ABC.

Traçamos um segmento ligando o vértice A ao ponto médio do segmento BC obtemos a mediana do vértice A. No triângulo isóscele a mediana coincide com a altura. Com a mediana obtemos dois triângulos retângulos congruente: o triângulo ADB e o triângulo ADC.

 

Considerando o triângulo retângulo ADB, temos:

cos β = cateto adjacente / hipotenusa

cos 72º =  (x / 2) / 1 = x / 2

Sendo x = (√5 – 1) / 2 :

cos 72º =  [(√5 – 1) / 2] / 2 = (√5 – 1) / 4