Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é:

(A) 50 m²

(B) 80 m²

(C) 110 m²

(D) 160 m²

(E) 310 m²

Solução: (C)

(I) Método

Observe o hexágono traçado na circunferência da esquerda na Figura 1. Perceba que ele divide uma pétala da rosácea ao meio.

Figura 1: Visualização da divisão da pétala da rosácea pelo hexágono.

A área da rosácea é o dobro da diferença da área do circulo, em que ela esta inscrita, pela área do hexágono regular inscrito na mesma circunferência.

A_{circunferência} =  π . r² , onde r é o raio da circunferência.

A_hexágono = [(3/2) . (a² . √3)] , onde a é o lado do hexágono.

A_rosácea = 2 . (A_{circunferência} – A_hexágono)

A_rosácea = 2 . {(π . r²) – [(3/2) . (a² . √3)]}

Como o hexágono está inscrito na circunferência a = r , então:

A_rosácea = 2 . {(π . r²) – [(3/2) . (r² . √3)]} = (2 . π . r²) – (3 . r² . √3) =

= r² [(2 . π) – (3 . √3)]

Considerando π ≈ 3,14 e √3 ≈ 1,73.

A_rosácea = r² [(2 . π) – (3 . √3)] = 10² [(2 . 3,14) – (3 . 1,73)] ≈ 103 m²

(II) Método

Observe a Figura 2. Cada pétala é formada por dois segmentos circulares e sua área é o dobro da diferença entre o setor circular pela área do triângulo equilátero contido neste setor. 

Figura 2: Visualização do setor circular na rosácea.

A_triângulo = (a² . √3) / 4 , onde a é o lado do triângulo equilátero.

A_{setor circular} = (π . r² . a) / 360º , onde a é o ângulo central e r é o raio da circunferência.

A_pétala = 2 . {[(π . r² . a) / 360] – [(a² . √3) / 4]}

O lado do triângulo equilátero é formado pelo raio da circunferência, então a = r.

A_pétala = 2 . {[(π . r² . a) / 360] – [(r² . √3) / 4]} =

= 2 . {[(π . r² . a) – [90 . (r² . √3)] / 360} = [(π . r² . a) – [90 . (r² . √3)] / 180

Considerando π ≈ 3,14 e √3 ≈ 1,73.

A_pétala = {(π . r² . 60) – [90 . (r² . √3)]} / 180 =

= {(3,14 . 10² . 6000) – [(90 . (10² . 1,73)]} / 180 ≈ 18,17 m²

Como temos 6 pétalas

A_rosácea = 6 . A_pétala = 6 . 18,17 = 109,02 m²

Disponível em <http://www.profmat-sbm.org.br/default.asp>. Acessado em: 01 de fevereiro de 2.011.