Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:

a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,

b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.

De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).

(A) 12

(B) 24

(C) 30

(D) 60

(E) 72

Solução: (B)

Seguindo as restrições temos:

Para o vértices 1 temos 4 possibilidades de cores;

Para o vértices 2 temos 3 possibilidades de cores;

Para o vértices 3 temos 2 possibilidades de cores;

Para o vértices 4 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 1;

Para o vértices 5 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 2;

Para o vértices 6 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 3;

Assim, as maneiras distintas de realizar a pintura do hexágono regular é:

4 . 3 . 2 . 1 . 1 . 1 = 24

Disponível em <http://www.profmat-sbm.org.br/default.asp>. Acessado em: 27 de janeiro de 2.011.