Exercício Complicado

São muitos que conhecem o quadro “Exercício Complicado” (ano de 1895), de Bogdánov-Belski, mas muito pouco estão conscientes do conteúdo do exercício apresentado na pintura. Se trata em resolver o rápida e mentalmente o seguinte exercício:

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²) / 365

Este exercício a primeira vista parece dificil. Na figura o mestre pintor reproduziu S. Rachinski, professor de ciências naturais, que deixou a presidência de uma universidade para se tornar um simples professor rural. O professor em sua escola inteligentemente cultivava o cálculo mental, com base na habilidade de usar as propriedades dos números. Os números 10, 11, 12, 13 e 14 tem uma curiosa propriedade:

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365

Com esta observação a resposta é imediata. Uma vez sabendo esta propriedade o exercício deixa de ser complicado, e o resultado é:

( 10² + 11² + 12² + 13² + 14² ) / 365

( 365 + 365 ) / 365

Portanto o resultado é 2. A álgebra permite agora comprovar se existem outras seqüências de números que seguem esta mesma propriedade:

x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x+ 4)²

x² + (x² + 2x + 1) + (x² + 4x + 4) = (x² + 6x + 9) + (x² + 8x + 16)

3x² + 6x + 5 = 2x² + 14x + 25

x² - 8x - 20 = 0

As raízes desta equação do segundo grau são 10 e -2. Portanto temos duas seqüências de números que compartilham desta propriedade: {10,11,12,13,14} e {-2,-1,0,1,2}.