Conjectura de Collatz

Há momentos em que nós nos referimos a beleza da natureza como mágica. E é um bela mágica? Alguns acham que quando algo é verdadeiramente surpreendente e "puro" é belo.

Deste ponto de vista, vamos mostrar uma propriedade aparentemente “mágica” em matemática. Esta é uma propriedade que tem confundido os matemáticos por muitos anos e ainda não se sabe por que isso acontece. Experimente; você provavelmente vai gostar.

Peço que escolha um número natural qualquer e que siga apenas duas regras simples:

• Se o número é ímpar, multiplique por 3 e adicione 1;
• Se o número é par, dividir por dois;
• Prossiga os passos anteriores dá observar algo interessante;

Independentemente do número que você escolher, você sempre vai eventualmente acabar com 1, após a repetição contínua do processo.

Vamos ilustrar o processo escolhendo o número 12:

• 12 é par, portanto, dividir por 2 para obter 6.
• 6 é par,  portanto, dividir por 2 para obter 3.
• 3 é impar, portanto, multiplique por 3 e adicionar 1 para obter: 3 · 3 + 1 = 10.
• 10 é par, por isso, basta dividir por 2 para obter 5.
• 5 é impar, por isso, multiplique por 3 e adicionar 1 para obter 16.
• 16 é par, dividir por 2 para obter 8.
• 8 é par, dividir por 2 para obter 4.
• 4 é par, dividir por 2 para obter 2.
• 2 é par, dividir por 2 para obter 1.

Os matemáticos acreditam que não importa qual o número começamos (aqui nós começamos com 12) sempre acabará por chegar a 1.

É verdadeiramente uma notável propriedade!

Experimente o processo com alguns outros números e tente se convencer de que ele realmente funciona. Se tivéssemos começado com 17 como o nosso número inicia teria exigido 12 passos para chegar a 1 e começando com 43 exigirá 29 etapas.

Será que isso realmente funcionar para todos os números? Esta é uma questão que tem preocupado os matemáticos desde os anos 1930, e até agora nenhuma resposta foi encontrada, apesar das recompensas monetárias oferecidas para uma prova desta conjectura. Mais recentemente (usando computadores), este problema, conhecido na literatura como o “Problema 3 · n + 1”, foi demonstrado ser verdade para os números até 10¹⁸ – 1!

Para aqueles que ativaram o “modo curioso” e querem investigar mais sobre o esta curiosa propriedade dos números naturais, oferece-lhe um esquema que mostra a sequência de números de 1 à 20 (vide Figura 1, Figura 2 e Figura 3). Os números 1 à 20 podem ser pontos de partida para a sua progressão seguindo as regras acima.

 

Figura 1: Sequência de números de 1 à 20.

Figura 2: Sequência de números de 1 à 20, continuando do 22.

Figura 3: Sequência de números de 1 à 20, continuando do 40.

Observe que você sempre vai acabar com o ciclo final do 4–2–1. Isto é, quando você chegar a 4 você vai sempre chegar ao 1 e, em seguida, foram-lhe para tentar continuar depois de ter chegado no 1, você sempre vai voltar para a 1, uma vez que, por aplicação da regra [3 · 1 + 1 = 4], você continua no eterno ciclo: 4–2–1.

Alguns números funcionam como ponto de bifurcação, como o 22, pois quando escolhermos o número 18 ou 19 ambos passam pelo 22 durante o processo. Este fato ocorre sempre que o número pode ser expresso na forma 2 · y ou 3 · x + 1, o 22, por exemplo, pode ser expresso por 2 · 11 ou 3 · 7 + 1.

Nós não queremos desencorajar o trabalho de investigação desta curiosidade, mas queremos avisá-lo para não ficar frustrado se você não conseguir provar que é verdade em todos os casos, para as melhores mentes matemáticas este continua sendo um grande desafio!

Fonte: POSAMENTIER, Alfred S. Math Charmers: tantalizing tidbits for the mind. Prometheus Books: New York, USA, 2.003.

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