Questão 58 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

O material de apoio ao Currículo – Caderno do Professor (CP) propõe ao professor o desenvolvimento de uma sequência de atividades de ladrilhamento para alunos do 7.º ano do Ensino Fundamental. Nela, o aluno poderá investigar as possibilidades de ladrilhamento do plano com polígonos regulares. Nesse sentido, o professor de Matemática apresentou aos alunos os polígonos regulares, conforme mostra a figura, e que indicassem aqueles que permitem ladrilhar um plano sem sobreposição das peças.

Os alunos devem chegar à conclusão de que os tipos de polígonos que podem ladrilhar um plano são:

(A) I e II, apenas.

(B) II e III, apenas.

(C) I, II e III, apenas.

(D) I, II e IV, apenas.

(E) I, II, III e IV.

Solução: (C)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Segundo o enunciado temos: I – triângulo equilátero, II – quadrado, III – hexágono, e IV – octógono.

Segundo o enunciado temos que identificar com quais destes polígonos podemos utilizar para ladrilhar (recobrir) uma área sem precisar sobrepor peças, ou seja, deve existir um encaixe perfeito.

Uma das formas de solucionar esta questão é recortar figuras congruentes de cada polígono e realizar a cobertura de uma área e verificar quais satisfazem a condição do enunciado.

Podemos construir um desenho de como seria uma área ladrilhada com cada polígono para analisar o que ocorre.

2° – Estabelecimento de um Plano

Construir um desenho planificando uma área utilizando o polígono II (quadrado), pois é comum utilizar esta forma como azulejo.

Observar as principais características do desenho e realizar uma correspondência com os demais polígonos.

Nesta vídeo-aula do Telecurso 2000 é apresentado este assunto, vale a pena conferir:

3° – Execução do Plano

Na Figura 1 temos o desenho de uma área ladrilhada com ladrilhos quadrados.

Figura 1: Ladrilho Quadrado.

Para uma melhor compreensão apresento um applet do Geogebra para utilizar os quadrados como ladrilho. O ponto em azul é utilizado para mover cada ladrilho e o ponto vermelho é utilizado para girar o ladrilho ao redor ponto azul.

Observe que ao redor do vértice A temos 4 ângulos de 90°, ou seja, uma volta completa 360°, formado pelos ângulos internos do polígono. Os ladrilhos estão todos encaixados, sem sobreposição.

Podemos relacionar estas características com os outros polígonos: no triângulo equilátero temos 60° como valor do ângulo interno, logo se pode formar um ângulo de 360° ao redor de um dos vértices, agrupando seis triângulos equiláteros congruentes; no hexágono temos 120° como valor do ângulo interno, logo se pode formar um ângulo de 360° ao redor de um dos vértices, agrupando três hexágonos congruentes.

Entretanto o mesmo não ocorre no octógono onde temos 135° como valor do ângulo interno, logo não se forma um ângulo de 360° ao redor de um dos vértices.

Então para que seja possível utilizar um polígono como ladrilho é necessário que o valor do ângulo interno seja múltiplo de 360°.

Desta forma somente os polígonos (I), (II) e (III) podem ser utilizados como ladrilhos (vide Figura 2)

Figura 2: Ângulos Internos dos polígonos. Observe que seis triângulos equiláteros
formam um hexágono regular.

4° – Avaliação

Da mesma forma, como realizado com o ladrilho quadrado temos um applet do Geogebra para utilizar os outros polígonos como ladrilho. O ponto em azul é utilizado para mover cada ladrilho e o ponto vermelho é utilizado para girar o ladrilho ao redor ponto azul.

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