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Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…
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Questão 51 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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O gráfico a seguir representa uma função polinomial do 2.º grau.

Analisando-se as informações do gráfico, é correto afirmar que a função representada é dada por:
(A) y = x2 + 5x + 4. (B) y = x2 – 4x + 5. (C) y = – x2 – 5x – 4. (D) y = – x2 + 4x – 5. (E) y = x2 – 5x + 4.
Solução: (E)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
A função do segundo grau apresenta e seguinte forma: y = f (x) = a · x2 + b · x + c ou na forma reduzida y = f (x) = a · (x – x1) · (x – x2), onde a, b e c são números reais e x1 e x2 são as raízes de f (x).
Analisando o gráfico podemos observar que a parábola está com a concavidade (abertura) volta para cima, logo a > 0.
O gráfico passa pelo eixo x em x = 1 e x = 4, ou seja, f (1) = f (4) = 0 que são as raízes de f (x).
O gráfico passa pelo eixo y em y = 4, ou seja, f (0) = 4.
2° – Estabelecimento de um Plano
Organizar os dados analisados e obter f (x). 3° – Execução do Plano
f (x) = a · (x – x1) · (x – x2)
x1 = 1 e x2 = 4
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Questão 50 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

O logaritmo de 2 na base 10, que se escreve log10 2 ou log 2, é aproximadamente igual a 0,30. Assim, considerando que log 2 ≈ 0,30 e log 3 ≈ 0,48, o log 72 é aproximadamente igual a
(A) 0,78. (B) 0,98. (C) 1,14. (D) 1,56. (E) 1,86.
Solução: (E)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo o enunciado temos que determinar o log 72 conhecendo os valores de log 2 e log 3.
2° – Estabelecimento de um Plano
Aplicar as propriedades das potências e dos logaritmos para determinar log 72. 3° – Execução do Plano
log 72 = log (8 · 9) = log 8 + log 9 = log 23 + log 32 = 3 · log 2 + 2 · log 3 =
= 3 · 0,30 + 2 · 0,48 = 0,90 + 0,96 = 1,86
Então log 72 ≈ 1,86.
4° – Avaliação
Questão cuja resolução utiliza as propriedades de potência e dos logaritmos.
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Questão 49 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

A equação x2 + (y – 1)2 = 25 representa uma
(A) circunferência. (B) elipse. (C) hipérbole. (D) parábola. (E) reta.
Solução: (A)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo a teoria temos:
Equação da circunferência: (x – a)2 + (y – b)2 = r2, onde C (a, b) é o centro da circunferência e r é a medida do raio.
Equação da elipse: [(x – m) / a]2 + [(y – n) / b]2 = 1, onde C (m, n) é o centro da elipse e a é a medida do semieixo maior e b é a medida do semieixo menor. Observe que o valor de a e b podem ser trocados de posição dependendo da forma como a elipse está posicionada em relação ao eixo x e ao eixo y.
Equação da hipérbole: [(x – m)2 / a2] – [(y – n)2 / b2] = 1 sendo a abertura da hipérbole voltada para o eixo x e [(y – n)2 / a2] – [(x – m)2 / b2] = 1 sendo a abertura da hipérbole voltada para o eixo y e onde de C (m, n) é o centro da hipérbole e a é a medida do semieixo maior e b é a medida do semieixo menor.
Equação da Parábola: y = a · x2 + b…
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Questão 48 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Uma foto impressa em papel tem a forma retangular e tem largura de 10 cm e comprimento de 14 cm. Essa foto foi ampliada de modo que a largura passou a ser 15 cm. Assim, se a nova foto conservar a mesma razão entre o comprimento e a largura da original, o comprimento da foto ampliada será de
(A) 19 cm. (B)21 cm. (C)24 cm. (D) 28 cm. (E)35 cm.
Solução: (B)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo o enunciado devemos determinar o comprimento de uma foto que foi ampliada.
A foto original tem 10 cm de largura e a foto ampliada tem 15 cm de largura, ou seja, a largura ampliou 50% do valor original.
2° – Estabelecimento de um Plano
Se a largura teve uma ampliação de 50%. Mantendo-se a mesma proporção o comprimento terá o mesmo 50% de ampliação. 3° – Execução do Plano
O comprimento da foto ampliada será de:
14 + 50% de 14 = 14 + (50 / 100) · 14 = 14 + 7 = 21 cm
4° – Avaliação
Podemos considerar que “conservar a mesma razão entre o comprimento e a largura…
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Questão 47 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Analise a seguinte sequência: 1, 4, 7, 10, 13, ... É verdade que
(A) essa sequência é formada por múltiplos de 3. (B) nenhum número dessa sequência tem 8 como o algarismo das unidades. (C) essa sequência é uma progressão geométrica de razão 3. (D) o quadragésimo quinto número dessa sequência é 133. (E) a soma dos dez primeiros números dessa sequência é 125.
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Analisando a sequência podemos observar que temos uma sequência crescente e que:
1, 4, 7, 10, 13, ... = 0 + 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... =
E que:
0 + 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... = (3 · 0) + 1, (3 · 1) + 1, (3 · 2) + 1, (3 · 3) + 1, (3 · 4) + 1, ...
Seja an um termo qualquer desta sequência, onde n = {1, 2, 3, 4, 5}, obtemos a seguinte lei de formação:
an = [3 · (n – 1)] + 1 ou an = 3 · n – 2
2° – Estabelecimento de um Plano
Analisar cada alternativa. 3° – Execução do Plano
(A) essa sequência é formada por múltiplos de 3 → Falso.
Na ve…
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Questão 46 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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O eneágono da figura é regular e o ponto O é o centro desse polígono.

A medida do ângulo OAB, assinalado na figura, é
(A) 45°. (B) 60°. (C) 70°. (D) 75°. (E) 80°.
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Do eneágono regular, sabemos (vide Figura 1):
apresenta nove lados congruentes;apresenta nove vértices;o ângulo central é obtido por AC = 360º / n, sendo n o número de lados do polígono regular;podemos dividir o eneágono em nove triângulos isósceles congruentes, cuja as bases são os lados do eneágono e o ângulo da oposto a base é o ângulo AC;os pontos AOB formam um dos triângulos isósceles;a distância do ponto A ao ponto O é a mesma distância do ponto B ao ponto O;

Consideremos o ângulo OAB como sendo igual a α.
Em qualquer triângulo isóscele, os ângulos da base possuem a mesma medida, isto é, são congruentes, então o ângulo α é um ângulo da base do triângulo AOB.
2° – Estabelecimento de um Plano
Determinar o ângulo AC e com esta informaçã…
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Questão 45 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Em uma estante, estão 8 diferentes substâncias. Deverão ser misturadas apenas duas dessas substâncias em quantidades iguais. Assim, se não houver restrições, o número de possibilidades de misturas diferentes que podem ser obtidas é
(A) 28. (B) 32. (C) 49. (D) 56. (E) 64.
Solução: (A)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo o enunciado temos 8 substâncias e temos que calcular o número de misturas diferentes deobtidas a parti de duas destas substâncias.
2° – Estabelecimento de um Plano
Problema de contagem por meio de combinação simples (C) onde temos que calcular a combinação de 8 substância, tomadas 2 a 2.
Cn,p= (n!) / [p! · (n – p!)]
Onde n é o número de elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n. 3° – Execução do Plano
Segundo o enunciado n = 8 e p = 2:
C8,2 = (8!) / [2! · (8 – 2!)]
C8,2 = (8!) / [2! · (8 – 2!)] = (8!) / [2! · (6!)]
C8,2 = (8 · 7 · 6!) / [2 · 1 · (8 – 2!)] = (8 · 7) / 2 = 4 · 7 = 28
4° – Avaliação
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Latex Editor (Equações Matemáticas)

Launch CodeCogs Equation Editor

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Adição ou Subtração de 2 Frações: o Método da Borboleta

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Explorando o mundo virtual encontrei outra forma de realizar a adição ou subtração de duas frações com denominadores diferentes.
O processo é igual ao apresentado na postagem sobre o Método Oculto, entretanto é bem mais didático e agradável para ser apresentados aos alunos, principalmente aos alunos do Ensino Fundamental I.
Para somar ou subtrair frações da maneira borboleta, siga os passos observando as borboletas abaixo ilustram o procedimento de 3/4 + 2/5 e de 3/4 - 2/5. 

1. Escreva as frações lado-a-lado, como de costume e desenhe duas asas ao longo das diagonais formadas pelo numerador de uma fracção e o denominador da outra fracção e desenhar uma antena em cada asa.
2. Tal como sugerido pelas asas, que se parecem com um sinal de multiplicação ( "X" ), multiplicar os números em cada asa e colocar o produto na antena para a asa correspondente.
3. Você pode pensar ou dizer: "Esta pobre borboleta precisa de um corpo". Para dar-lhe um corpo, ligue as partes inferiores …
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Questão 22 – Vestibulinho – Etec – 2° semestre – 2.015

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O transporte de grãos para o interior dos silos de armazenagem ocorre com o auxílio de esteiras de borracha, conforme mostra a figura, e requer alguns cuidados, pois os grãos, ao caírem sobre a esteira com velocidade diferente dela, até assimilarem a nova velocidade, sofrem escorregamentos, eletrizando a esteira e os próprios grãos. Essa eletrização pode provocar faíscas que, no ambiente repleto de fragmentos de grãos suspensos no ar, pode acarretar incêndios.


Nesse processo de eletrização, os grãos e a esteira ficam carregados com cargas elétricas de sinais
(A) iguais, eletrizados por atrito. (B) iguais, eletrizados por contato. (C) opostos, eletrizados por atrito. (D) opostos, eletrizados por contato. (E) opostos, eletrizados por indução.
Solução: (C)
Um corpo pode ser eletrizado de três maneiras diferentes: por atrito, por contato ou por indução.
Segundo o enunciado os grãos ao escorregarem sobre a esteira ocorrem a eletrização, se o grãos escorregam existe uma atrito entre os grãos e a est…
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Qual é a diferença entre um Número e um Algarismo?

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A diferença entre um número e um algarismo é semelhante à diferença entre uma palavra e uma carta ou uma letra.
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Historicamente, se costuma pensar que o primeiro sistema de numeração desenvolvido pelo home, tal como a conhecemos hoje, é o sistema de numeração hindu-arábico, estabelecido no século VII, que utiliza tanto os números como os dígitos. No entanto, a utilização do algarismo zero não foi amplamente aceita e difundida, na verdade, um espaço foi usado no lugar do zero durante muitos séculos.
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