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Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…
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Questão 10 – Professor de Matemática – SEAP – Paraná – 2.013

Determine a(s) solução(ões) para a equação:
√(2 + √3)x + √(2 – √3)x = 4
A) x = –1 ou x = 1 B) x = –1 ou x = 2 C) x = 2 ou x = 2 D) x = –2 ou x = 2 E) x = 4
Solução: (D)
A chave para a resolução desta equação é notar que:
(2 – √3) = 1 / (2 + √3)
Por radiciação temos:
1 / (2 + √3) = [1 / (2 + √3)] ∙ [(2 – √3) / (2 – √3)] = (2 – √3)
Resolvendo a equação:
√(2 + √3)x + √(2 – √3)x = 4 → √(2 + √3)x + √(1 / (2 + √3))x = 4 →
→ √(2 + √3)x + 1 / √(2 – √3)x = 4 → [(√(2 + √3)x)2 + 1] / √ (2 + √3)x = 4 →
→ (√(2 + √3)x)2 + 1 = 4 ∙ (√ (2 + √3)x) →
→ (√(2 + √3)x)2 + 1 – 4 ∙ (√ (2 + √3)x) = 0
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Questão 53 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

Um ponto, deslocando-se em torno de uma circunferência, é o modelo ideal para analisar a periodicidade de determinados fenômenos e para expressá-la por intermédio de representações algébricas e gráficas. Esse modelo, portanto, precisa ser compreendido com bastante clareza pelos alunos a fim de que eles possam estudar sem grandes dificuldades as funções 
(A) logarítmicas.  (B) exponenciais.  (C) polinomiais.  (D) trigonométricas.  (E) lineares. 
Solução: (D)
Um ponto percorrendo um Círculo Trigonométrico (ou círculo unitário, ou círculo goniométrico) é comumente usado no estudo de funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, auxiliando os professores e alunos na explanação e entendimento das variáveis trigonométricas e suas correlações. 
A seguir temos uma construção animada no GeoGebra no qual o ponto P percorre uma circunferência.
Por favor, verifique se o seu navegador não está bloqueando o acesso a atividade. Para instalar a linguagem JAVA em seu computador, acesse o endere…
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Questão 52 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Considere a função representada no gráfico:


Essa função pode ser representada algebricamente por

(A) f(x) = −2x2 + 4x + 6
(B) f(x) = − x2 + 2x + 3
(C) f(x) = − x2 – 2x + 3
(D) f(x) = x2 + 3x – 2
(E) f(x) = x2 − 2x − 3

Solução: (B)

A função do segundo grau pode ser escrita na forma fatorada:

f (x) = a ∙ x2 + b ∙ x + c = a ∙ (x – x1) ∙ (x – x2)

Sendo x1 e x2 raízes da função.

f (x) = a ∙ (x + 1) ∙ (x – 3)
f (x) = a ∙ (x2 – 2 ∙ x − 3)

Sendo o gráfico f (1) = 4, logo

f (1) = a ∙ (12 – 2 ∙ 1 − 3) → 4 = a ∙ (– 4) → a = – 4

f (x) = – x2 + 2 ∙ x + 3

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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Questão 54 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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O gráfico apresentado a seguir mostra a quantidade Q, em mg, de uma determinada substância presente na corrente sanguínea de uma pessoa em função do tempo t, em horas, após ter sido ingerida.

É correto afirmar que entre os instantes t = 0,5 h e t = 2,5 h a taxa média de variação dos níveis da substância em mg/h (miligrama por hora) é igual a
(A) – 1,10 mg/h. (B) – 0,8 mg/h. (C) – 0,4 mg/h. (D) 0,4 mg/h. (E) 0,8 mg/h.
Solução: (A)
A taxa de variação média de uma função y = f (x), no intervalo de a até b (x variando de a até b) é a razão definida por:
TVmédia = Δy / Δx = [f (b) – f (a)] / (b – a)
Segundo os dados do enunciado: a = 0,5 h ; f (a) = 2,6 mg ; b = 2,5 h e f (b) = 0,4 mg.
TVmédia = [f (2,5) – f (0,5)] / (2,5 – 0,5) = (0,4 – 2,6) / 2 = – 1,10 mg/h
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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Questão 55 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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O triângulo PQR da figura é retângulo em P. O segmento PM é mediana relativa ao lado RQ do triângulo e PB é bissetriz do ângulo P. A medida do cateto PR é 12 cm e a medida do cateto PQ é 9 cm


A distância entre os pontos M e B é igual a

(A) 30 / 7. (B) 45 / 27. (C) 15 / 14. (D) 5 / 4. (E) 13 / 12.
Solução: (C)
Antes de resolver gostaria de pedir desculpas, pois tenho a incrível capacidade de sempre escolher o caminho mais longo na resolução.
A medida da mediana relativa a hipotenusa de um triangulo retângulo é igual a metade da medida da hipotenusa.
h2 = c2 + c2 →RQ2 = PR2 + PQ2 → RQ2 = 122 + 92 = 225 →RQ = √225 = 15
A medida de PM = RQ / 2 = 15 / 2.
Para determinar a medida da bissetriz PB inicialmente traçamos por B o segmento BA paralelo a um dos catetos, neste caso utilizamos o cateto PQ (vide, Fig. 1). O triângulo RAB é semelhante ao triângulo RPQ, portanto:

PA = BA

PA2 + BA2 = PB2
PA = BA = PB / √2 = PB ∙ √2 / 2
RA = PR – PA
Sendo o triângulo RAB e o triângulo RPQ semelhantes, temos a seguinte re…
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Questão 56 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Um professor do 6.º ano do Ensino Fundamental desenvolveu com seus alunos uma atividade que envolvia a noção de equivalência de frações. Para isso, ele utilizou como recurso didático as malhas quadriculadas como as apresentadas, para mostrar a equivalência entre duas frações.

Depois, o professor solicitou que seus alunos pintassem em uma malha quadriculada semelhante às anteriores, porém com 24x24 quadradinhos, uma fração equivalente às duas frações que haviam sido representadas nas malhas. Os alunos que responderam corretamente obtiveram a fração:
(A) 9 / 24. (B) 30 / 48. (C) 48 / 576. (D) 120 / 576. (E) 240 / 576.
Solução: (E)
Na primeira figura temos 6x6 = 36 quadradinhos sendo 15 quadradinhos pintados, formando a fração 15 / 36. Na segunda figura temos 12x12 = 144 quadradinhos sendo 60 quadradinhos pintados, formando a fração 60 / 144.
Observe que a fração 15 / 36 é equivalente a 60 / 144, pois a fração 60 / 144 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da fração 15 / 36 por 4:
…
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Questão 58 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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A primeira parcela de um financiamento de 6 meses é de R$ 200,00, e as demais são decrescentes em 5%. Assim, a segunda parcela, P2, tem um desconto de 5% sobre a primeira, a terceira parcela, P3, tem um desconto de 5% sobre P2, e assim por diante. Assim, para calcular o valor total pago quando a dívida for totalmente quitada pode-se fazer o cálculo:
(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Solução: (B)
Conforme o enunciado:
P1 = 200
P2 = 200 – 0,05 ∙ 200 = 200 ∙ (1 – 0,05) = 200 ∙ 0,95
P3 = 200 ∙ 0,95 – 0,05 ∙ (200 . 0,95) = 200 ∙ 0,95 ∙ (1 – 0,05) = 200 ∙ 0,95 ∙ 0,95 = 200 ∙ 0,952
( ... )
P6 = 200 ∙ 0,954 – 0,05 ∙ (200 . 0,954) = 200 ∙ 0,954 ∙ (1 – 0,05) = 200 ∙ 0,954 ∙ 0,95 = 200 ∙ 0,955
Observe que P1, P2, P3, ..., P6 forma uma progressão geométrica de razão q = 0,95 e a1 = 200. Calculando a soma desta progressão geométrica finita para n = 6 (seis parcela), temos:
Sn = a1 ∙ (1 – qn) / 1 – q → S6 = S = 200 ∙ (1 – 0,956) / 1 – 0,95
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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Latex Editor (Equações Matemáticas)

Launch CodeCogs Equation Editor

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Adição ou Subtração de 2 Frações: o Método da Borboleta

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Explorando o mundo virtual encontrei outra forma de realizar a adição ou subtração de duas frações com denominadores diferentes.
O processo é igual ao apresentado na postagem sobre o Método Oculto, entretanto é bem mais didático e agradável para ser apresentados aos alunos, principalmente aos alunos do Ensino Fundamental I.
Para somar ou subtrair frações da maneira borboleta, siga os passos observando as borboletas abaixo ilustram o procedimento de 3/4 + 2/5 e de 3/4 - 2/5. 

1. Escreva as frações lado-a-lado, como de costume e desenhe duas asas ao longo das diagonais formadas pelo numerador de uma fracção e o denominador da outra fracção e desenhar uma antena em cada asa.
2. Tal como sugerido pelas asas, que se parecem com um sinal de multiplicação ( "X" ), multiplicar os números em cada asa e colocar o produto na antena para a asa correspondente.
3. Você pode pensar ou dizer: "Esta pobre borboleta precisa de um corpo". Para dar-lhe um corpo, ligue as partes inferiores …
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Questão 22 – Vestibulinho – Etec – 2° semestre – 2.015

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O transporte de grãos para o interior dos silos de armazenagem ocorre com o auxílio de esteiras de borracha, conforme mostra a figura, e requer alguns cuidados, pois os grãos, ao caírem sobre a esteira com velocidade diferente dela, até assimilarem a nova velocidade, sofrem escorregamentos, eletrizando a esteira e os próprios grãos. Essa eletrização pode provocar faíscas que, no ambiente repleto de fragmentos de grãos suspensos no ar, pode acarretar incêndios.


Nesse processo de eletrização, os grãos e a esteira ficam carregados com cargas elétricas de sinais
(A) iguais, eletrizados por atrito. (B) iguais, eletrizados por contato. (C) opostos, eletrizados por atrito. (D) opostos, eletrizados por contato. (E) opostos, eletrizados por indução.
Solução: (C)
Um corpo pode ser eletrizado de três maneiras diferentes: por atrito, por contato ou por indução.
Segundo o enunciado os grãos ao escorregarem sobre a esteira ocorrem a eletrização, se o grãos escorregam existe uma atrito entre os grãos e a est…
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Qual é a diferença entre um Número e um Algarismo?

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A diferença entre um número e um algarismo é semelhante à diferença entre uma palavra e uma carta ou uma letra.
As letras do alfabeto compõem palavras e algarismos compõem os números, que representam números.
Historicamente, se costuma pensar que o primeiro sistema de numeração desenvolvido pelo home, tal como a conhecemos hoje, é o sistema de numeração hindu-arábico, estabelecido no século VII, que utiliza tanto os números como os dígitos. No entanto, a utilização do algarismo zero não foi amplamente aceita e difundida, na verdade, um espaço foi usado no lugar do zero durante muitos séculos.
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Além disso, os algarismos hindu-arábicos só foram amplamente reconhecidos e utilizados p…
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