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Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…
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Questão 49 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

A respeito dos diferentes tipos de número, é correto afirmar que
(A) O número 17 / 83 é irracional, pois o quociente de 17 por 83 não é uma dízima periódica, ou seja, esse número tem infinitas casas decimais, que se repetem de forma sem regularidade. (B) O número πé racional, pois ele pode ser obtido por meio de um quociente: o comprimento de um círculo qualquer dividido pela respectiva medida de seu diâmetro ou do raio. (C) Nem todo número irracional é número real; apenas são reais os números irracionais que são soluções de equações polinomiais de coeficientes inteiros. (D) O conjunto dos números complexos, que contém os números imaginários, está contido no conjunto dos números reais, uma vez que podem ser obtidos pela resolução de equações polinomiais de coeficientes inteiros. (E)  O número 1,20200200020000200000 ... (as reticências significam que o número 2 vem acompanhado de uma quantidade crescente de zeros: 1, 2, 3, 4, 5, e assim, por diante), é irracional, pois ele não pode ser obti…
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Questão 48 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Com relação à equação matricial

correto afirmar que ela representa um sistema linear
(A) impossível. (B) que apresenta apenas a solução trivial, ou seja, x = 0, y= 0 e z= 0. (C) que apresenta apenas a solução x = 1, y= –1 e z= 0, além da solução trivial. (D) que apresenta apenas a solução x= 3, y = 1 e z = –2, além da solução trivial. (E) que apresenta infinitas soluções.
Solução: (E)
O resolvendo a equação matricial, obtemos o sistema linear de três incógnitas:
x + y + 2 ∙ z = 0 x – y + z = 0 2 ∙ x – 4 ∙ y + z = 0
Se tata de um sistema linear homogêneo, pois os termos independentes de todas as equações são nulas.
Sendo o numero de equação igual ao número de incógnitas podemos calcular o determinante D:

1 1 2 D = 1 –1 1
2 –4 1

1 1 2
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Questão 47 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Lucas e Tiago vão disputar um jogo de dados. Trata-se de um dado tradicional de seis faces, numeradas de 1 a 6. Lucas apostou nos números ímpares (1, 3 e 5) e Tiago, nos números pares (2, 4 e 6). Foi estipulada a seguinte regra: o vencedor será aquele que vencer primeiro duas jogadas consecutivas ou, então, três jogadas alternadas. Após ser conhecido o vencedor, o jogo será encerrado. A quantidade de sequências distintas de resultados possíveis das jogadas, até que se conheça o vencedor é igual a
(A) 36. (B) 12. (C) 10. (D) 6. (E) 5.
Solução: (C)
Realizando um diagrama de árvore observamos que temos 10 possibilidades distintas (cinco para cada jogador) de resultados das jogadas para se obter o vencedor da disputa.
Possibilidades de Tiago vencer:

Possibilidades de Lucas vencer:
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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Questão 46 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Um professor propôs a seus alunos do 1.º ano do Ensino Médio, o seguinte problema:
Uma população P cresce em função do tempo t (em anos) segundo a sentença P = 5 000 · 100,1t. Hoje, no instante t = 0 a população é de 5 000. Daqui a quantos anos a população será de 100 000?
Assim, a resposta ao problema é obtida por meio da resolução da equação 20 = 100,1t.
Levando-se em conta o atual Currículo do Estado de São Paulo, é correto considerar que
(A) o professor deveria ter proposto apenas números como 50 000, 500 000, 5 000 000 etc em lugar do 100 000, pois, desse modo, o problema seria traduzido por meio de uma equação exponencial cujos dois membros poderiam ser reduzidos a potências de 10 com expoentes racionais.
(B) essa situação é inadequada para alunos do 1.º ano do EM, tendo em vista que, para resolver a equação exponencial 20 = 100,1t, não é possível substituir o número 20 por uma potência de 10, impossibilitando “igualar” as bases dos dois membros da equação.
(C) a resolução da equação …
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Questão 45 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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No sistema de eixos cartesianos ortogonais mostrados a seguir, estão representados dois triângulos.

Esses triângulos são simétricos em relação
(A) à reta y = x. (B) à reta y = x + 1. (C) à origem. (D) ao ponto (5, 5). (E) ao ponto (5, 3).
Solução: (A) A figura é obtida a partir de duas transformações lineares: uma reflexão e uma rotação.
Analisando a figura observamos que a reta y = x é o eixo de simetria entre estas figuras. Os pontos (1 , 3) e (3 , 4) de um triângulo são correspondentes aos pontos (3 , 1) e (4 , 3) do outro triângulo.
Os pontos (1 , 3) e (3 , 1) estão a mesma distância da reta y = x, assim como os pontos (4 , 3) e (3 , 4).
Segundo a teoria quando temos uma reflexão em torno do eixo y = x:
T : R2 → R2
(x , y) → (y , x) ou T (x , y) = (y , x)

x
→
y
=
0 1
∙
x

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Questão 44 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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André resolveu a inequação x – 2 ≥ x (x+3) / (x + 1) da forma a seguir:

Assim, André concluiu que x ≤ – 1/2. Analisando sua forma de resolver, pode-se afirmar que
(A) a passagem de (I) para (II) está incorreta, o que compromete o resto da resolução. (B) a passagem de (II) para (III) está incorreta, o que compromete o resto da resolução. (C) a passagem de (III) para (IV) está incorreta, o que compromete o resto da resolução. (D) a passagem de (V) para (VI) está incorreta, o que o faz chegar a uma conclusão incorreta. (E) todas as passagens e a conclusão estão corretas.
Solução: (B)
A conclusão que x ≤ – 1/2 está incorreta, pois x = – 1 não satisfaz as condições da inequação quociente visto que o denominador (x + 1) não pode ser nulo.
Inicialmente devemos organizar a inequação quociente:
x – 2 ≥ x ∙ (x + 3) / (x + 1)
(x – 2) ∙ (x + 1) / (x + 1) ≥ x ∙ (x + 3) / (x + 1)
(x2 + x – 2 ∙ x – 2) / (x + 1) ≥ (x2 + 3 ∙ x) / (x + 1)
(x2– x – 2) / (x + 1) ≥ (x2 + 3 ∙ x) / (x + 1)
O aluno erra nesta passagem ao …
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Questão 42 – Processo de Promoção – Professor de Matemática – SEE – São Paulo – 2.013

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Em um quintal retangular de 12 m por 18 m, vai ser construída uma calçada contornando dois lados consecutivos de um canteiro, cuja forma é também retangular, conforme mostra a figura.

A calçada deverá ocupar uma área de 88 m². Desse modo, uma equação que permite calcular o valor de x é
(A) x² − 88x + 216 = 0. (B) x² − 216x − 88 = 0. (C) x² − 24x + 44 = 0. (D) x² − 21x + 44 = 0. (E) x² − 21x − 88 = 0.
Solução: (C)
Vamos considerar a área da calçada como sendo dois retângulos: um com a largura x cm e o comprimento 12 m, localizado na parte superior da figura, e outro com largura (2 ∙ x) m e comprimento (18 – x) m, localizado no lado esquerdo da figura.
As respectivas áreas destes retângulos são: 12 ∙ x m2 e (2 ∙ x) ∙ (18 – x) = 36 ∙ x – 2 ∙ x2 m2.
Segundo o enunciado as somas destas áreas é 88 m2, portanto:
12 ∙ x + 36 ∙ x – 2 ∙ x2 = 88 → 48 ∙ x – 2 ∙ x2 – 88= 0 → 2 ∙ x2 – 48 ∙ x + 88 = 0 →
→ x2 – 24 ∙ x + 44 = 0
Resolução a pedido da Profª. Édnamar.
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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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Adição ou Subtração de 2 Frações: o Método da Borboleta

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Explorando o mundo virtual encontrei outra forma de realizar a adição ou subtração de duas frações com denominadores diferentes.
O processo é igual ao apresentado na postagem sobre o Método Oculto, entretanto é bem mais didático e agradável para ser apresentados aos alunos, principalmente aos alunos do Ensino Fundamental I.
Para somar ou subtrair frações da maneira borboleta, siga os passos observando as borboletas abaixo ilustram o procedimento de 3/4 + 2/5 e de 3/4 - 2/5. 

1. Escreva as frações lado-a-lado, como de costume e desenhe duas asas ao longo das diagonais formadas pelo numerador de uma fracção e o denominador da outra fracção e desenhar uma antena em cada asa.
2. Tal como sugerido pelas asas, que se parecem com um sinal de multiplicação ( "X" ), multiplicar os números em cada asa e colocar o produto na antena para a asa correspondente.
3. Você pode pensar ou dizer: "Esta pobre borboleta precisa de um corpo". Para dar-lhe um corpo, ligue as partes inferiores …
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Questão 22 – Vestibulinho – Etec – 2° semestre – 2.015

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O transporte de grãos para o interior dos silos de armazenagem ocorre com o auxílio de esteiras de borracha, conforme mostra a figura, e requer alguns cuidados, pois os grãos, ao caírem sobre a esteira com velocidade diferente dela, até assimilarem a nova velocidade, sofrem escorregamentos, eletrizando a esteira e os próprios grãos. Essa eletrização pode provocar faíscas que, no ambiente repleto de fragmentos de grãos suspensos no ar, pode acarretar incêndios.


Nesse processo de eletrização, os grãos e a esteira ficam carregados com cargas elétricas de sinais
(A) iguais, eletrizados por atrito. (B) iguais, eletrizados por contato. (C) opostos, eletrizados por atrito. (D) opostos, eletrizados por contato. (E) opostos, eletrizados por indução.
Solução: (C)
Um corpo pode ser eletrizado de três maneiras diferentes: por atrito, por contato ou por indução.
Segundo o enunciado os grãos ao escorregarem sobre a esteira ocorrem a eletrização, se o grãos escorregam existe uma atrito entre os grãos e a est…
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Qual é a diferença entre um Número e um Algarismo?

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A diferença entre um número e um algarismo é semelhante à diferença entre uma palavra e uma carta ou uma letra.
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