Blog Mania de Matemática

Um professor repartiu igualmente 3600 folhas de papel de seda entre seus alunos de uma classe do 8.º ano em um dia da semana passada. Como faltaram 5 alunos naquele dia, os que compareceram ganharam 10 folhas a mais que ganhariam caso não houvesse faltas. Uma equação que permite determinar o número x de alunos da classe é
(A) [1 / (x – 5)] + 10 = 3600 (B) 3600 / x = [3600 / (x – 5)] – 10 (C) [3600 / x] – [3600 (x – 5)] = 10 (D) [3600 / x] – 5 = 10 (E) [x / 3600] – 5 = 10
Solução: (A)
Seja y o número de folhas de seda que cada aluno recebe e x o número de alunos.
Em condições normais temos y = 3600 / x .
Entretanto faltaram cinco alunos, logo x – 5. Forma cada aluno recebeu dez folhas adicionais, logo y + 10 , desta forma temos:
y + 10 = 3600 / (x – 5) → y = [3600 / (x – 5)] – 10
Concluímos então que
3600 / x = [3600 / (x – 5)] – 10

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

Para que seus alunos compreendessem melhor as grandes vantagens de um sistema posicional, um professor propôs algumas atividades envolvendo outras bases além da decimal. Entre essas atividades, apresentou os resultados dos cálculos com números naturais para seus alunos, mas não informou qual era a base dos números representados. Os cálculos apresentados, em uma única base, foram os seguintes:
I. 6 + 0 = 6. II. 6 + 1 = 7. III. 3 x 3 = 11. IV. 5 x 2 = 12.
Pode-se que concluir que os cálculos foram feitos utilizando-se a base
(A) 10. (B) 9. (C) 8. (D) 7. (E) 6
Solução: (C)
Podemos inicialmente desconsiderar a alternativa (A) já que 3 x 3 = 9 e 5 x 2 = 10 no sistema de base dez.
As alternativas (C) e (D) são desconsideradas já que na base seis os números são formados pelos algarismos {0 , 1 , 2, 3 , 4 , e 5} e na base sete pelos algarismos {0 , 1 , 2, 3 , 4 , e 5 e 6}.
Devemos analisar os itens III. 3 x 3 = 11 e IV. 5 x 2 = 12. 
3 x 3 = 910 = 109 = 118
5 x 2 = 1010 = 119 = 128
Logo os cálculos são realiza…

Um professor do 6.º ano, para destacar uma das principais características do Sistema de Numeração Decimal, que é o valor posicional dos símbolos, propôs diversas atividades a seus alunos envolvendo outras bases além da base dez. Em uma dessas atividades, o professor propôs que contassem uma determinada quantidade de pedrinhas na base quatro e que registrassem essa quantidade utilizando os algarismos indo arábicos e o princípio do valor posicional. Se a quantidade de pedrinhas era de 147 (cento e quarenta e sete), os alunos que fizeram corretamente essa contagem escreveram:
(A) (210)quatro (B) (410)quatro (C) (421)quatro (D) (2103)quatro (E) (3012)quatro
Solução: (D)
A representação do sistema de numeração de base quatro por meio de algarismo indo arábicos utiliza somente os algarismos {0 , 1 , 2 e 3}. Assim podemos descartar as alternativas (B) e (C) já que possuem os algarismos 4.
Convertendo 14710 (o “10” subscrito representa “base dez”) para a base quatro. A conversão é realizada por múlti…

Observe o trecho da reta numérica, representado a seguir. Os pontos destacados dividem o segmento de reta em intervalos iguais.

Nessa representação, o número correspondente ao ponto P é
(A) 125,5. (B) 128,25. (C) 135. (D) 139,75. (E) 140.
Solução: (C)
Esta questão está relacionada com conceito de módulo ou valor absoluto. Inicialmente devemos determinar a “distância” entre o ponto 21 e o ponto 116.
Neste caso realizamos uma subtração: 116 – 21 = 95 (vide Fig. 1).
Segundo o enunciado cada divisão da reta possui a mesma medida e entre 21 e 116 temos 5 trechos, logo cada trecho mede 95 / 5 = 19.

O ponto P é obtido da soma de 116 + 19 = 135 (vide Fig. 2).

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

Conta a lenda urbana que a questão abaixo caiu na prova do ITA, portanto aí  vai um exemplo para os que almejam estudar nas melhores universidades do país, ok?
Uma mãe é 21 anos mais velha que o filho. Daqui há 6 anos a mãe terá uma idade 5 vezes maior que o filho. Pergunta : Onde está o pai agora? Observação: Há que fazer alguns cálculos para obter a resposta. Por mais incrível que pareça a resposta é dada pela matemática.

Solução

Vamos considerar os cálculos partindo do dia atual.
Adotamos a idade da mãe como sendo = y anos.

Adotamos a idade do menino como sendo = x anos.

Portanto, como a mãe é 21 anos mais velha, temos: y = x + 21 (I)

Daqui a 6 anos, ou seja y + 6  e  x + 6, a mãe terá idade 5 vezes maior que a do filho, ou seja: y + 6 = 5 ( x + 6 )

Resolvendo a equação, temos: y + 6 = 5 ∙ x + 30 → y = 5 ∙ x + 24

Se substituirmos o valor acima de Y na primeira equação (I), teremos:
5 ∙ x + 24 = x + 21

5 ∙ x – x = 21 – 24

Logo: 4 ∙ x = – 3

x = – 3/4

O menino tem hoje –3/4 anos, ou seja, – 9 me…

Considere a seqüência
an = logb1 √5 + logb2 √5 + ... + logbn √5
onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n – 1. Determine o valor de a para o qual a10 = 1 – (1/2)10
A) 10 B) ­1/5 C) 1 D) 5 E) √5
Solução: (D)
Segundo o enunciado para a10 → n = 10 , temos:
k = 1 , 2 , 3 , ... , 8 , 9
b1 = a;
b1+1 = b2 = ( b1 )2 = ( a )2 = a2
b2+1 = b3 = ( b2 )2 = ( a2 )2 = a4
b3+1 = b4 = ( b3 )2 = ( a4 )2 = a8
( ... )
b9+1 = b10 = ( b9 )2 = ( a256 )2 = a512
a10 = loga √5 + log(a2) √5 + log(a4) √5 + log(a8) √5 + .... + log(a256) √5 + log(a512) √5
Realizando mudança de base nos logaritmos:
log(a2) √5 = (loga √5) / (loga a2) = (loga √5) / (2 ∙ loga a) = (1/2) ∙ loga √5
log(a4) √5 = (loga √5) / (loga a4) = (loga √5) / (4 ∙ loga a) = (1/4) ∙ loga √5 (...)
log(a256) √5 = (loga √5) / (loga a256) = (loga √5) / (256 ∙ loga a) = (1/256) ∙ loga √5
log(a512) √5 = (loga √5) / (loga a512) = (loga √5) / (512 ∙ loga a) = (1/512) ∙ loga √5 a10 = loga √5 + (1/2) ∙ loga √5 + (1/4) ∙ loga √5 + .... + (1/512) ∙ loga √5
a10 = loga √5 …

A seqüência 4, 7, 8, 6, 7, 9, 5, 10, 8, 6, 7 indica as notas de Estatística dos 11 alunos que estão cursando uma Pós-Graduação em Matemática. Assinale a alternativa que apresenta os valores da moda, mediana e variância desses dados, nessa ordem.

A) 7 , 6 , 26/11 B) 6 , 7 , 25/11 C) 7 , 7 , 30/11 D) 7 , 6 , 30 E) 6 , 6 , 24/11
Solução: (C)
Agrupando os dados em ordem crescente:
4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Analisando temos: Moda = nota 7 e Mediana = nota 7. (definição de Moda e Mediana)
Não é necessário o calculo da Variância para se determinar a alternativa correta.
A variância (σ) é uma medida de dispersão utilizada na estatística sendo base para o calculo do desvio padrão.
Para se calcular a variância devemos inicialmente calcular a média:
x = (4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10) / 11 = 77 / 11 = 7
σ = [(4 – 7)2 + (5 – 7)2 + (6 – 7)2 + (6 – 7)2 + (7 – 7)2 + + (7 – 7)2 + (7 – 7)2 + (8 – 7)2 + (8 – 7)2 + (9 – 7)2 + (10 – 7)2] / 11 = 30/11