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Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…
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Questão 47 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Analise a seguinte sequência: 1, 4, 7, 10, 13, ... É verdade que
(A) essa sequência é formada por múltiplos de 3. (B) nenhum número dessa sequência tem 8 como o algarismo das unidades. (C) essa sequência é uma progressão geométrica de razão 3. (D) o quadragésimo quinto número dessa sequência é 133. (E) a soma dos dez primeiros números dessa sequência é 125.
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Analisando a sequência podemos observar que temos uma sequência crescente e que:
1, 4, 7, 10, 13, ... = 0 + 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... =
E que:
0 + 1, 3 + 1, 6 + 1, 9 + 1, 12 + 1, ... = (3 · 0) + 1, (3 · 1) + 1, (3 · 2) + 1, (3 · 3) + 1, (3 · 4) + 1, ...
Seja an um termo qualquer desta sequência, onde n = {1, 2, 3, 4, 5}, obtemos a seguinte lei de formação:
an = [3 · (n – 1)] + 1 ou an = 3 · n – 2
2° – Estabelecimento de um Plano
Analisar cada alternativa. 3° – Execução do Plano
(A) essa sequência é formada por múltiplos de 3 → Falso.
Na ve…
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Questão 46 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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O eneágono da figura é regular e o ponto O é o centro desse polígono.

A medida do ângulo OAB, assinalado na figura, é
(A) 45°. (B) 60°. (C) 70°. (D) 75°. (E) 80°.
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Do eneágono regular, sabemos (vide Figura 1):
apresenta nove lados congruentes;apresenta nove vértices;o ângulo central é obtido por AC = 360º / n, sendo n o número de lados do polígono regular;podemos dividir o eneágono em nove triângulos isósceles congruentes, cuja as bases são os lados do eneágono e o ângulo da oposto a base é o ângulo AC;os pontos AOB formam um dos triângulos isósceles;a distância do ponto A ao ponto O é a mesma distância do ponto B ao ponto O;

Consideremos o ângulo OAB como sendo igual a α.
Em qualquer triângulo isóscele, os ângulos da base possuem a mesma medida, isto é, são congruentes, então o ângulo α é um ângulo da base do triângulo AOB.
2° – Estabelecimento de um Plano
Determinar o ângulo AC e com esta informaçã…
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Questão 45 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Em uma estante, estão 8 diferentes substâncias. Deverão ser misturadas apenas duas dessas substâncias em quantidades iguais. Assim, se não houver restrições, o número de possibilidades de misturas diferentes que podem ser obtidas é
(A) 28. (B) 32. (C) 49. (D) 56. (E) 64.
Solução: (A)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo o enunciado temos 8 substâncias e temos que calcular o número de misturas diferentes deobtidas a parti de duas destas substâncias.
2° – Estabelecimento de um Plano
Problema de contagem por meio de combinação simples (C) onde temos que calcular a combinação de 8 substância, tomadas 2 a 2.
Cn,p= (n!) / [p! · (n – p!)]
Onde n é o número de elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n. 3° – Execução do Plano
Segundo o enunciado n = 8 e p = 2:
C8,2 = (8!) / [2! · (8 – 2!)]
C8,2 = (8!) / [2! · (8 – 2!)] = (8!) / [2! · (6!)]
C8,2 = (8 · 7 · 6!) / [2 · 1 · (8 – 2!)] = (8 · 7) / 2 = 4 · 7 = 28
4° – Avaliação
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Questão 44 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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Para determinar a altura de um prédio, um estudante, que estava sem instrumento de medida de comprimento, e com ajuda de um instrumento que ele construiu, mediu de forma aproximada o ângulo de elevação do prédio a partir de A, obtendo 45°. Em seguida, caminhou até B, que ele sabia que estava distante 50 m de A e mediu novamente o ângulo de elevação, obtendo 30°. A figura a seguir representa essa situação.



Para o cálculo da altura, o estudante utilizou tg 30º ≈ 0,6 e tg 45º ≈ 1.
Assim, a altura aproximada do prédio é
(A) 48 m. (B) 60 m. (C) 75 m. (D) 84 m. (E) 93 m.
Solução: (C)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo a imagem do enunciado temos dois triângulos retângulos que compartilham um mesmo cateto que representa a altura (h) do edifício.
A Figura 1 mostra uma reconstrução da imagem do enunciado para auxiliar na interpretação da questão.

Considerando o ponto C como a base do edifício então o segmento CD representa a altura do edifício,…
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Questão 43 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Uma embalagem de suco concentrado tem a forma de um paralelepípedo reto. Sua base tem a forma de um quadrado de 7 cm de lado. Sabendo-se que essa embalagem tem capacidade de 1 litro, pode-se afirmar que a alternativa que indica o valor mais próximo da altura dessa embalagem é
(A) 17,0 cm. (B) 18,8 cm. (C) 19,6 cm. (D) 20,4 cm. (E) 21,2 cm.
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Segundo o enunciado temos que calcular a altura de um paralelepípedo reto cuja base é um quadrado de lado 7 cm e o volume de 1 litro.
Temos que converter a unidade de volume litro para cm3.
O volume (V) do paralelepípedo reto é obtido pelo produto da área da base (Abase) pela altura (h).
2° – Estabelecimento de um Plano
Converter o volume em litros para cm3 e utilizar a fórmula do volume do paralelepípedo para determinar a altura da embalagem. 3° – Execução do Plano
Sabemos que 1 m3 equivalem a 1.000 litros e que 1 m3 é o volume de uma cubo cuja aresta mede 1 m.
…
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Questão 42 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

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A figura representa um quadrado formado por cinco polígonos: um quadrado e quatro triângulos retângulos. Esses triângulos são congruentes, cujos catetos medem a (cateto maior) e b (cateto menor) e a hipotenusa mede c.

A área da região quadrada destacada na figura é igual a
(A) c2 – (a + b)2 (B) c2 – a2 – b2 (C) (c – a)2 + b2 (D) a2 – 2ab + b2 (E) a2 – b2
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Inicialmente consideremos a parte indicada na Figura 1 como sendo um erro construtivo na imagem do enunciado.
Na Figura 2 indicamos os pontos por letras, devemos determinar uma expressão que representa a área do quadro EFGH.
Podemos observar que temos quatro triângulos retângulos congruentes: ΔAFB; ΔBGC; ΔCHD, e; ΔDEA. Lados congruentes destes triângulos formam um quadrado ABCD.
Observe o triângulo retângulo ΔAFB é retângulo em F (ou seja, o ângulo F mede 90º), então o lado AB é a hipotenusa do triângulo, cuja medida é c, o lado BF é o cateto men…
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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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Adição ou Subtração de 2 Frações: o Método da Borboleta

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Explorando o mundo virtual encontrei outra forma de realizar a adição ou subtração de duas frações com denominadores diferentes.
O processo é igual ao apresentado na postagem sobre o Método Oculto, entretanto é bem mais didático e agradável para ser apresentados aos alunos, principalmente aos alunos do Ensino Fundamental I.
Para somar ou subtrair frações da maneira borboleta, siga os passos observando as borboletas abaixo ilustram o procedimento de 3/4 + 2/5 e de 3/4 - 2/5. 

1. Escreva as frações lado-a-lado, como de costume e desenhe duas asas ao longo das diagonais formadas pelo numerador de uma fracção e o denominador da outra fracção e desenhar uma antena em cada asa.
2. Tal como sugerido pelas asas, que se parecem com um sinal de multiplicação ( "X" ), multiplicar os números em cada asa e colocar o produto na antena para a asa correspondente.
3. Você pode pensar ou dizer: "Esta pobre borboleta precisa de um corpo". Para dar-lhe um corpo, ligue as partes inferiores …
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Questão 22 – Vestibulinho – Etec – 2° semestre – 2.015

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O transporte de grãos para o interior dos silos de armazenagem ocorre com o auxílio de esteiras de borracha, conforme mostra a figura, e requer alguns cuidados, pois os grãos, ao caírem sobre a esteira com velocidade diferente dela, até assimilarem a nova velocidade, sofrem escorregamentos, eletrizando a esteira e os próprios grãos. Essa eletrização pode provocar faíscas que, no ambiente repleto de fragmentos de grãos suspensos no ar, pode acarretar incêndios.


Nesse processo de eletrização, os grãos e a esteira ficam carregados com cargas elétricas de sinais
(A) iguais, eletrizados por atrito. (B) iguais, eletrizados por contato. (C) opostos, eletrizados por atrito. (D) opostos, eletrizados por contato. (E) opostos, eletrizados por indução.
Solução: (C)
Um corpo pode ser eletrizado de três maneiras diferentes: por atrito, por contato ou por indução.
Segundo o enunciado os grãos ao escorregarem sobre a esteira ocorrem a eletrização, se o grãos escorregam existe uma atrito entre os grãos e a est…
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Qual é a diferença entre um Número e um Algarismo?

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A diferença entre um número e um algarismo é semelhante à diferença entre uma palavra e uma carta ou uma letra.
As letras do alfabeto compõem palavras e algarismos compõem os números, que representam números.
Historicamente, se costuma pensar que o primeiro sistema de numeração desenvolvido pelo home, tal como a conhecemos hoje, é o sistema de numeração hindu-arábico, estabelecido no século VII, que utiliza tanto os números como os dígitos. No entanto, a utilização do algarismo zero não foi amplamente aceita e difundida, na verdade, um espaço foi usado no lugar do zero durante muitos séculos.
Até o século 13, os algarismos hindu-arábicos não eram conhecidos em muitos círculos matemáticos europeus. Na verdade, esses algarismos aparecem pela primeira vez no mundo europeu em Liber Abaci (1202), que é um livro sobre aplicações aritméticas escrito por Leonardo de Pisa, conhecido mais tarde como Fibonacci.
Além disso, os algarismos hindu-arábicos só foram amplamente reconhecidos e utilizados p…
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