Blog Mania de Matemática

Os alunos Dora, Edson e Fábio encontraram em um livro uma demonstração do teorema de Tales. O texto informava que aquela demonstração era válida apenas quando envolvia segmentos comensuráveis. Eles passaram a discutir sobre os significados das expressões “segmentos comensuráveis” e “segmentos incomensuráveis”.
Dora: Dois segmentos são comensuráveis quando a razão entre suas medidas for um número racional, caso contrário são incomensuráveis.
Edson: Um segmento comensurável é aquele que pode ser medido por meio de um instrumento de medida, caso contrário, diz-se que o segmento é incomensurável.
Fábio: Dois segmentos de reta são comensuráveis se existir um segmento de reta u, por menor que seja, tal que as medidas dos dois segmentos, tomando u como unidade, são números inteiros. Caso contrário, são incomensuráveis.
É correto afirmar que o significado de segmentos comensuráveis:
(A) não é conhecido pelos três alunos. (B) é conhecido por Dora e Edson, apenas. (C) é conhecido por Edson e Fábio, ap…

Analise as três afirmações: 

I. O número 0,1954545454... é um número racional. 
II. O número 0,101001000100001... é um número racional. 
III. O número 3/17 é um número irracional, pois tem representação decimal infinita e não periódica. 

Está correto, apenas, o que se afirma em: 

(A) I. 
(B) II. 
(C) III. 
(D) I e II. 
(E) II e III. 

Solução: (A)

I. O número 0,1954545454... é um número racional → Verdadeiro
A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma n / d, onde n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica e d é tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
0,1954545454... parte não periódica 0,19, período 54. Portanto:
0,195454... = (1954 – 19) / 9900 = 1935 / 9900 = 43 / 220
II. O número 0,101001000100001... é um número racional → Falso
0,101001000100001... = 0,1 + 0,001 + 0,000001 + 0,0000000001 + ... =
= 10-1 + 10-3 + 10-6 + 10-10 + ...
Não vemos uma periodicidade nesta sequên…

Um poliedro tem 7 faces, 7 vértices e 12 arestas. Esse poliedro pode ser: 

(A) um prisma de base heptagonal. 
(B) um prisma de base hexagonal. 
(C) um prisma de base pentagonal. 
(D) uma pirâmide de base hexagonal. 
(E) uma pirâmide de base heptagonal. 

Solução: (D)

Um prisma de base heptagonal possui 9 faces, 14 vértices e 21 arestas. Um prisma de base hexagonal possui 8 faces, 12 vértices e 18 arestas. Um prisma de base pentagonal possui 7 faces, 10 vértices e 15 arestas. Um pirâmide de base heptagonal possui 8 faces, 8 vértices e 14 arestas. Um pirâmide de base hexagonal possui 7 faces, 7 vértices e 12 arestas.

Um roteiro turístico prevê a visita a duas cidades de um conjunto conhecido por “Cidades Históricas de Minas Gerais”, formado pelas cidades de Ouro Preto, Mariana,Tiradentes e São João Del Rey. O número de possibilidades de escolhas distintas dessas cidades, independentemente da ordem de visita, é:

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)

Solução: (B)

Temos um problema de combinação onde independe da ordem de visita.
Segundo o problema temos quatro possibilidades de visitas, mas apenas duas escolhas.
Cn,p = n! / [p! (n – p)!)
C4,2 = 4! / [2! • (4 – 2)!] = 4! / [2! • 2!] = 12 / 2 = 6
Logo temos seis possibilidades de escolhas distintas para visitar duas cidades.

André e Bernardo vão disputar a final de um campeonato de xadrez. Foi estipulada a seguinte regra: o vencedor do torneio será aquele que vencer duas partidas consecutivas ou, então, três partidas alternadas. Após ser conhecido o vencedor, não haverá mais partidas. A quantidade de sequências distintas de resultados possíveis das partidas, até que se conheça o vencedor do torneio, é igual a:
(A) 3. (B) 5. (C) 6. (D) 10. (E) 12.
Solução: Anulada
Esta questão foi anulada por apresentar dupla interpretação.
Consideremos A cada vitória de André e B cada vitória de Bernardo, temos então:
Para André ganhar o campeonato temos as seguintes possibilidades:
A – A;
B – A – A; A – B – A – A; A – B – A – B – A;
A – B – A – B – B;
Para Bernardo ganhar o campeonato temos as seguintes possibilidades:
B – B;
A – B – B; B – A – B – B; B – A – B – A – B; B – A – B – A – A;
Nesta etapa o enunciado deixa confuso a análise dos dados, pois não deixa claro se quer as sequências em que os jogadores ganham o campeonato ou as sequênc…

Para pintar a bandeira representada a seguir, há apenas 4 cores disponíveis: amarelo, vermelho, azul e verde.





Todas as faixas dessa bandeira serão pintadas de modo que faixas adjacentes tenham cores distintas. É correto afirmar que o número de possibilidades distintas para pintar essa bandeira é:
(A) 256. (B) 144. (C) 108. (D) 96. (E) 81.
Solução: (C)
Para pintar a bandeira segundo as condições temos a seguintes possibilidades:
Faixa 1º 2º 3º 4º Cores 4 3 3 3
O total de possibilidades é de 4 x 3 x 3 x 3 = 108 possibilidades distintas de se pintar esta bandeira.

A professora de Matemática de uma escola solicitou que seus alunos resolvessem a inequação 2(x – 2) ≤ 9x – 3. No quadro apresentado a seguir, estão descritos os procedimentos utilizados por dois alunos, Pedro e Paulo.

Pedro
Paulo I. 2(x – 2) ≤ 9x – 3
I. 2(x – 2) ≤ 9x – 3 II. 2x – 4 ≤ 9x – 3
II. 2x – 4 ≤ 9x – 3 III. 2x – 9x ≤ – 3 + 4
III. – 4 +3 ≤ 9x – 2x IV. – 7x ≤ 1
IV. – 1 ≤ 7x V. x­ ≤ 1 / (– 7)

Considere as matrizes:
­ A  =     |2         5|             |1         3|
B =      |3         -5|             |-1         2|
O produto AB é igual a:
(A) |6         -25| |-1           2|
(B) |1         0| |0         1|
(C) |5         0| |0         5|
(D) |–6          25| |1            –2|
(E) |0         0| |0         0|
Solução: (B)

Realizando a operação de multiplicação de matrizes temos:


|2     5| |1     3| • |3     -5| |-1    2|

|2 • 3 + 5 • (– 1)      2 • (– 5) + 5 • 2| |1 • 3 + 3 • (– 1)      1 • (– 5) + 3 • 2|
|1     0| |0     1|

Considere a seguinte igualdade:

2 3
x
– 1

•
=
3 5
y
– 2
Essa igualdade é uma representação matricial do seguinte sistema de equações: