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Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…
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Questão 25 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Considere o triângulo com vértices em A(2, 3), B(4, 1), C(6, 7). Qual a equação da reta paralela ao lado BC, que passa pelo ponto médio do lado AC?
A) $x^{2}+y^{2}=9$ B) $3\cdot x+3\cdot y=9$ C) $x-y-9=0$ D) $x-y+9=0$ E) $-3x+y=-7$

Solução: (E)

Construindo uma imagem para guiar a interpretação do enunciado.
Na Figura 1 temos o triângulo formado pelos pontos dados.

Na Figura 2 temos o ponto médio $M$ no lado $AC$:

As coordenadas do ponto $M=\left ( x_{M};\, y_{M} \right )$ é calculado pela relação:
$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}$
$ x_{M}=\frac{2+6}{2}=4$
$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}$
$y_{M}=\frac{3+7}{2}=5$
Portanto $M=\left ( 4;\, 5 \right )$.
A solução é a equação da reta $r$ que passa pelo ponto $M$, conforme a Figura 3.

Se a reta $r$ é paralela ao lado $AC$ então apresenta o seu coeficiente angular $m_{r}$ igual ao coefificiente angular da reta suporte do lado $AC$.
Calculando o coeficinete angu…
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Questão 24 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte: PCI Concursos; IF / MS

Certo professor de Matemática, ao fazer a entrega da última avaliação para seus alunos, ouve de Joãozinho: “O senhor não entregou a minha prova”. Ao que responde: Sua avaliação está sem nome e antes de entregá-la, te desafio a descobrir sua nota, a partir da seguinte informação: A média da sala foi 6,5. Sem a sua prova, a média seria 6,4. Nessas condições qual foi a nota de Joãozinho?
A) 9,4 B) 9,3 C) Dez D) 9,8 E) 7,5

Solução: Anulada
Considerando:
(i) $N_{Total}$ o total das nota da sala, sem a nota do Joãozinho;
(ii) $n_{classe}$ o número de alunos da sala, sem o Joãozinho;
(iii) $N_{J}$ a nota do Joãozinho;
Então temos que a média da sala com o Joãozinho:
$\frac{N_{Total}+N_{J}}{n_{classe}+1}=6,5$
A média da sala sem o Joãozinho:
$\frac{N_{Total}}{n_{classe}}=6,4$
$N_{Total}=6,4\cdot n_{classe}$
Substituindo na equação em que o Joãozinho esta presente:
$\frac{\left (6,4\cdot n_{class…
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Questão 23 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte: PCI Concursos

Em um restaurante que serve refeições por quilo tem-se 6 opções de pratos quentes (arroz com brócolis, lasanha de presunto e queijo, nhoque de espinafre, risoto de abóbora, penne quatro queijos e risoto de aspargo) e 4 opções de carnes (peixe, carne suína, frango e carne bovina). Quantas opções os clientes podem escolher montando o prato com 5 itens distintos, de sorte que contenha ao menos 2 opções de carnes?
A) 252 B) 318 C) 120 D) 186 E) 116

Solução: (D)
Trata-se de uma questão envolvendo combinação. Para resolver é mais simples determinar a quantidade total de combinações das opções de pratos e de carnes oferecidos e depois retirar as combinações que não apresentam carnes e as combinações que apresentam apenas uma das opções de carne.
No total temos 10 opções de escolha para montar um prato: 6 opções pratos quentes e 4 opções de carnes. Temos que escolher 5 das 10 opções, logo:
$C_{10,5}=\fra…
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Questão 22 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática
Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fontes:PCI Concursos; IF / MS

Dado o polinômio $P=\left ( \frac{1}{a}+a \right )^{6}$, calcule o termo independente da variável “$a$”.
A) O termo independente é igual a 6. B) O termo independente é menor que 15. C) O termo independente é maior que 10 e menor e igual a 20. D) O termo independente é igual a 1. E) O termo independente é maior que 30.

Solução: Anulada
A fórmula geral de um termo qualquer $T_{p+1}$, $p\in \mathbb{N}$, do desenvolvimento de $\left ( x+y \right )^{n}$, é dado por:
$T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot x^{n-p}\cdot y^{p}$
Lembrando que:
$\binom{n}{p}=C_{n,p}=\frac{n!}{\left ( n-p \right )!\cdot p!}$
Sabemos que o termo independente não depende de "$a$", logo é o termo que não apresenta letras.
Segundo o enunciado temos $x=\frac{1}{a}$, $y=a$ e $n=6$:
$T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot x^{n-p}\cdot y^{p}$
$T_{p+1}=\binom{6}{p}\cdot \left ( \frac{1}{a} \right )^{6-p}\cdot a^{6}=C_ {6,p}\cdot \left ( \f…
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Questão 19 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Na construção de um tatame circular para a prática de luta greco-romana, deseja-se marcar dois pontos sobre a circunferência que delimita esse tatame, de tal forma que esses pontos sejam soluções da equação $2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$, considerando o conjunto universo $U=\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leqslant x\leqslant 2\cdot \pi \right \}$. Quais as posições circulares desses pontos?
A) $\left [ \pi ,\: 2\cdot \pi \right ]$ B) $\left [ \frac{\pi}{2} ,\: \frac{\pi}{3} \right ]$ C) $\left [ \frac{\pi}{3} ,\: \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$ D) $\left [ \frac{\pi}{5} ,\: \frac{ \pi}{2} \right ]$ E) $\left [ \frac{5\cdot \pi}{2} ,\: \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$

Solução: (C)
Resolvendo a equação $2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$:
Considerando $y= cos\left ( x \right )$,
$2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x…
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Questão 20 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática
Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Comumente necessitamos recorrer à fatoração de expressões algébricas para auxiliar a resolução de problemas matemáticos. Considere necessária a fatoração da seguinte expressão $\left (sen \: 65^{\circ}-sen \, 25^{\circ} \right )$. Nessas condições, a referida fatoração resulta em:
A) $2\cdot sen\: 20^{\circ}$ B) $sen\: 25^{\circ}$ C) $2\cdot sen\: 15^{\circ}$ D) $\sqrt{2}\cdot sen\: 20^{\circ}$ E) $\sqrt{2}\cdot sen\: 15^{\circ}$

Solução: (D)
Sabemos que:
$sen \: \alpha -sen \: \beta =2\cdot sen\: \left ( \frac{\alpha -\beta }{2} \right )\cdot cos\: \left ( \frac{\alpha +\beta }{2} \right )$
Então:
$sen \: 65^{\circ}-sen \, 25^{\circ} =2\cdot sen\: \left ( \frac{65^{\circ} -25^{\circ} }{2} \right )\cdot cos\: \left ( \frac{65^{\circ}+25^{\circ} }{2} \right )$,
$sen \: 65^{\circ}-sen \, 25^{\circ} =2\cdot sen\: \left ( 20^{\circ} \right )\cdot cos\: \left ( 45^{\circ} \right )=2\cdot sen\: \l…
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Questão 17 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Determinar a área da região delimitada pela função $y=x\cdot \left ( x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right )$) e pelo eixo $x$ para $-1\leq x\leq 2$.
A) $\frac{65}{4}$ B) $64$ C)$ \frac{16}{3}$ D)$ \frac{63}{2}$ E)$ \frac{64}{3}$

Solução: (A)
Lembrando do gráfico da função $f\left ( x \right )=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d$ que apresenta três raízes, desta forma:
$y=x\cdot \left ( x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right )$
$x_{1}=0$
$\left ( x+1 \right )=0\rightarrow x_{2}=-1$
$\left ( x+2 \right )=0\rightarrow x_{2}=-2$
Então o gráfico corta o eixo da abscissa "$x$" três vezes. Isso é importante para o cálculo da área no intervalo do enunciado.
Utilizando o apple do GeoGebra para auxiar a visualização temos:
$y=x\cdot \left ( x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right )\rightarrow f\left ( x \right )=x^{3}+3\cdot x^2+2\cdot x$


Logo que devemos calcular é a área em amarelo da Figura 1:

Obse…
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Questão 16 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática
Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Encontre o volume do sólido, no primeiro octante, delimitado por planos coordenados e as superfícies $x + z = 2$ e $y = 4 – 2z$.
A) $\frac{1}{3}$ B) $\frac{4}{3}$ C) $\frac{8}{3}$ D) $\frac{16}{3}$ E) $20$

Solução: (D)
Os três eixos coordenados $x$, $y$ e $z$ três plano coordenado: o plano $xy$ é o plano que contém os eixos $x$ e $y$; o plano $yz$ contém os eixos $y$ e $z$; o plano $xz$ contém os eixos $x$ e $z$ e estes três planos coordenados dividem o espaço em oito partes, chamadas octantes. O primeiro octante é determinado pelos eixos positivos.
Sendo o sólido delimitado pelos planos coordenados temos:
$\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0\\ z=0 \end{matrix}\right.$
Desta forma obtemos:
(i)
$x+z=2\rightarrow x=2-z$
$y=4-2\cdot z$
(ii) para $x=0$ e $y=0$:
$\left\{\begin{matrix} x+z=2\rightarrow z=2\\ y=4-2\cdot z\rightarrow y=4 \end{matrix}\right.$
Logo o volume do sólido é dado
$V_{solido}=\in…
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Questão 15 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Em um conjunto de quatro números, observa-se que os três primeiros estão em progressão geométrica e os três últimos estão em progressão aritmética, com razão 6. Sabendo que o primeiro número é igual ao quarto, a soma desses números é:
A) 13 B) 14 C) 15 D) 18 E) 24

Solução: (B)
Temos um conjunto com quatro números {M, N, P, M}, sem mudar a posição destes números.
Sendo os três primeiro {M, N, P}, correspondem a uma progreção geométrica (p.g.) então:
$\left \{ \frac{x}{q},x,x\cdot q \right \}$
Sendo $q$ a razão da p.g.
Sendo os três ultimos {N, P, M}, correspondem a uma progreção aritmética (p.a.) então:
$\left \{ y-r,y,y+r \right \}$
Sendo $r$ a razão da p.a. que conforme o enunciado é 6, logo:
$\left \{ y-6,y,y+6 \right \}$
Segundo o enunciado temos que o primeiro e o último número são iguais:
$\frac{x}{q}=y+6$
$q=\frac{x}{y+6}$
Outra relação importante é obtida analisando a tabela:

            M��…
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Questão 14 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática
Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte: PCI Concursos

Uma pessoa possuía certo número de objetos. Agrupando-os 4 a 4, de modo que cada grupo possua pelo menos um objeto diferente do outro, obtém-se o mesmo número de grupos que se os agrupasse 6 a 6, de modo idêntico. Quantos objetos possuía?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

Solução: (D)
Este trata-se de um problemas de combinação no qual temos $n$ objetos, combinados te tal forma que $C_{n,4}=C_{n,6}$, logo:
$C_{n,4}=C_{n,6}$
$\frac{n!}{\left ( n-4 \right )!\cdot 4!}=\frac{n!}{\left ( n-6 \right )!\cdot 6!}$
$\left( n-4 \right )!\cdot 4!=\left ( n-6 \right )!\cdot 6!$
$\left( n-4 \right )\cdot\left( n-5 \right )\cdot\left( n-6 \right )!\cdot 4!=\left ( n-6 \right )!\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!$
$\left( n-4 \right )\cdot\left( n-5 \right )=6 \cdot 5$
$n^{2}-9\cdot n-10=0$
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos $n_{1}=-1$ e $n_{2}=10$.
Logo a pessoa possuía 10 objetos.

***

Não se esqueça que a matemática …
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Questão 13 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Dados os números {1, 3, 5, 7 e 9}, quantos números de 5 (cinco) algarismos distintos podemos formar, de modo que os números 1 e 3 nunca fiquem juntos e os números 5 e 7 sempre ocupem posições lado a lado.
A) 42 B) 24 C) 18 D) 28 E) 36

Solução: (B)
Inicialmente iremos reinterpretar o enunciado, considerando {1 = A, 3 = B, 5 = C, 7 = D e 9 = X}, então ao invés de números iremos trabalhar com letras, quantos anagramas pode-se formar com as 5 (cinco) letras.
Convertendo o problemas numérico para um problema de anagramas sem repetição no qual temos que calcular quanto anagramas se pode formar com as letras {A, B, C, D e X} de modo que as letras A e B nunca fiquem juntas e as letras C e D sempre ocupem posições lado a lado.
Observe que as letras C e D devem aparecer sempre juntas, mas não neta mesma ordem, e que A e B devem permanecer separadas, desta forma podemos considerar o primeiro anagrama:
C D A …
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Questão 12 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte: PCI Concursos

Dados os números complexos $z_{1}=2\cdot \left ( cos\left ( \frac{\pi }{3} \right )+ i\cdot sen\left ( \frac{\pi }{3} \right )\right )$, $z_{2}=5\cdot \left ( cos\left (\pi \right )+ i\cdot sen\left ( \pi \right )\right )$ e $z_{3}=4\cdot \left ( cos\left (2\cdot \pi \right )+ i\cdot sen\left (2\cdot \pi \right )\right )$, encontre a área do triângulo formado pelos seus afixos:
A) $\frac{9}{2}$ B) $\frac{9}{4}$ C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D) $\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2}$ E) $\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2}$

Solução: (D)
Afixo de um número complexo $z=a+ib$, $a,b\in \mathbb{R}$, é o ponto $P$ do plano cujas coordenadas cartesianas são $\left ( a, b \right )$.
Passando os números complexos da forma trigonométrica para a forma algébrica:
$z_{1}=2\cdot \left ( cos\left ( \frac{\pi }{3} \right )+ i\cdot sen\left ( \frac{\pi }{3} \right )\right )=2\cdot \left (\frac{1}{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right )=1+i\c…
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Questão 11 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

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Cargo: Professor - Matemática Ano: 2016 Órgão: IF / MS Instituição: IF / MS Fonte:PCI Concursos

Determine o valor de $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{2}{x} \right )^{5\cdot x}$:
A) $e^{\frac{5}{2}}$ B) $e^{25}$ C) $e^{10}$ D) $e^{\frac{2}{}}$ E) $e^{\frac{1}{5}}$
Solução: (C)
Sabemos do limiter fundametal:
$\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{2}{x} \right )^{5\cdot x}$
Considerando $\frac{2}{x}=\frac{1}{t}$ então $x=2\cdot t$:
$\left (\lim_{t\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{2}{2\cdot t} \right )^{2\cdot t} \right )^{5}$
$\left (\lim_{t\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{1}{t} \right )^{t} \right )^{2\cdot 5}$
$e^{10}$
Portanto:
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{2}{x} \right )^{5\cdot x}=e^{10}$
***

Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!





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