Questão 39 - Concurso Professor de Matemática - E.I. e E.F. - Pref. de Marilândia / ES - 2.016

Cargo: Professor B - Educação Infantil e Ensino Fundamental - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Marilândia / ES
Instituição: IDECAN
Fonte: PCI Concursos

As funções $f\left ( x \right )=\frac{x+1}{3}$, $g\left ( x \right )=x+1$ e $h\left ( x \right )=4x-4$, com $x\in \mathbb{R}_{+}^{*}$ formam, nesta ordem, uma progressão geométrica crescente. Dessa forma, a razão q dessa progressão é:

A) 2.

B) 3.

C) 4.

D) 7.

Solução: (B)

Segundo o enunciado $x\in \mathbb{R}_{+}^{*}=\left \{ x\in \mathbb{R}\mid x> 0 \right \}$

Para determinar o n-éssimo termo, $a_{n}$ de uma progressão geométrica (p. g.) é obtido segundo a igualdade: $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$, onde $q$ é a razão da p. g.

Desta forma podemos considerar os três termos de uma p. g. da seguinte forma:

$\left \{ \frac{a_{n}}{q};\; a_{n};\; a_{n}\cdot q \right \}$

Uma propriedade importante de três termos consecutivos de uma p. g. é: o quadrado do termo do central é igual ao produto dos outros dois termos:

$\left (a_{n} \right )^{2}=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$

Desta forma temos:

$\left \{ f\left ( x \right );\; g\left ( x \right );\; h\left ( x \right ) \right \}\Rightarrow \left [ g\left ( x \right ) \right ]^{2}=f\left ( x \right )\cdot h\left ( x \right )$

$\left ( x+1 \right )^{2}=\left ( \frac{x+1}{3} \right )\cdot \left ( 4\cdot x-4 \right )$

$x^{2}+2\cdot x+1=\frac{4\cdot x^{2}-4}{3}$

$3\cdot x^{2}+6\cdot x+3=4\cdot x^{2}-4$

$4\cdot x^{2}-6\cdot x -7=0$

$x=\frac{-\left ( -6 \right )\pm \sqrt{\left ( -6 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot \left ( -7 \right )}}{2\cdot 1}=\frac{6\pm \sqrt{64}}{2}=\frac{6\pm 8}{2}=3\pm 4$

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=3-4=-1\\ x_{2}=3+4=7 \end{matrix}\right.$

Desta forma:

$f\left ( 7 \right )=\frac{7+1}{3}=\frac{8}{3}$

$g\left ( 7 \right )=7+1=8$

$h\left ( 7 \right )=4\cdot 7-4=28-4=24=8\cdot 3$

$\therefore \left \{ \frac{a_{n}}{q};\; a_{n};\; a_{n}\cdot q \right \}= \left \{ \frac{8}{3};\; 8;\; 8\cdot 3 \right \}\Rightarrow q=3$.

Portanto a razão da p. g. é igual a 3.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!