Questão 06 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

Cargo: Professor - Matemática

Ano: 2016

Órgão: IF / MS

Instituição: IF / MS

Fonte: PCI Concursos

Supondo que numa indústria o custo médio da produção, em função da quantidade produzida “x”, é dado por:

$C\left ( x \right )=\frac{x}{20}+25+\frac{125}{x}$

Determine a quantidade conveniente para que o custo médio seja mínimo:

A) 10

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

Solução: (E)

1º passo: derivar a função $C\left ( x \right )$:

$\frac{d}{dx}C\left ( x \right )=\frac{1}{20}-\frac{125}{x^{2}}$

2º passo: encontrar os pontos críticos, considerando:

$\frac{d}{dx}C\left ( x \right )=0$

$\frac{1}{20}-\frac{125}{x^{2}}=0$

$\frac{x^{2}-2500}{20\cdot x^{2}}=0$

$x^{2}-2500=0$

$x=\pm \sqrt{2500}=\pm 50$

Observe que o valor negativo não interessa em nossa resolução por dois motivos: primeiro não produzimos quantidades negativas de determinado produto e segundo não temos valores negativos nas alternativas.

3º passo: considerar um valor antes e outro depois do ponto critico $x = 50$, neste caso podemos escolher o 49 e o 51.

4º passo: substituir o 49 e o 51 em $\frac{d}{dx}C\left ( x \right )$ analisando o resultado.

$\frac{d}{dx}C\left ( x \right )=\frac{1}{20}-\frac{125}{x^{2}}$

$\frac{d}{dx}C\left ( 49 \right )=\frac{1}{20}-\frac{125}{49^{2}}=\frac{2401-2500}{20\cdot 49^{2}}=-\frac{99}{20\cdot 49^{2}}$

$\frac{d}{dx}C\left ( 49 \right )< 0$

Logo a função está decrescendo na direção de $x = 49$ para $x = 50$.

$\frac{d}{dx}C\left ( 51 \right )=\frac{1}{20}-\frac{125}{51^{2}}=\frac{2601-2500}{20\cdot 51^{2}}=\frac{101}{20\cdot 51^{2}}$

$\frac{d}{dx}C\left ( 51 \right )> 0$

Logo a função está decrescendo na direção de $x = 50$ para $x = 51$.

Então no ponto $x=50$ temos um ponto de mínimo.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!