Questão 58 – Processo de Promoção – QM – Professor de Matemática – SEE/SP – 2.015

Um dos cadernos do Professor para o 3° ano do Ensino Médio, da Secretaria de Educação de São Paulo, discute algumas inovações curriculares para o ensino dos números complexos: apresenta-se, por exemplo, a correspondência das operações com números complexos com movimentos no plano de Argand Gauss.

Considere a região triangular do plano complexo, indicada na figura. Cada ponto da região é a imagem de um número complexo.

  

Se cada ponto dessa região triangular for multiplicada pelo número imaginário z = 2i conclui-se que a região triangular sofrerá uma rotação de

(A) 90°, correspondente a multiplicação por i, e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto, duplicada.

(B) 90°, correspondente a multiplicação por i, e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto, quadruplicada.

(C) 180°, correspondente a multiplicação por i, e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto, duplicada.

(D) 180°, correspondente a multiplicação por i, e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto, quadruplicada.

(E) 360°, correspondente a multiplicação por i, e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto quadruplicada.

Solução: (B)

Segundo o Caderno do Professor 3° ano do Ensino Médio Matemática (2.014, p.85):

“(...)

• quando se multiplica um número real por –1, sua imagem na reta real é deslocada segundo um arco de 180º, passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N · (–1) = –N (resultado: rotação de 180º);
• quando se multiplica um número real por i², ou seja, por –1, é como se tivéssemos multiplicado o número real por i e multiplicássemos o resultado novamente por i: N ·  (–1) = N · i · i = –N;
• se o resultado das duas multiplicações idênticas e sucessivas foi uma rotação de 180º, seria natural considerar o resultado de cada uma das multiplicações parciais por i como o resultado de uma rotação de 90º: N · i = Ni (rotação de 90º);
• assim, multiplicar um número real por i corresponderia a representar tal número em um eixo perpendicular ao eixo real.”

Segundo o Caderno do Professor 3° ano do Ensino Médio Matemática (2.014, p.96):

“d) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 2.

Cada ponto da região terá seu módulo multiplicado por 2; logo, a região será ampliada, tendo cada segmento multiplicado por 2, e sua área multiplicada por 4. Como as distâncias de cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma translação (afastamento da origem) com a ampliação.”

Segundo o Caderno do Professor 3° ano do Ensino Médio Matemática (2.014, p.97):

“12.Considere a região do plano complexo, indicada na figura. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação. Represente no plano complexo a região resultante após a multiplicação de cada ponto da região pelo imaginário i.

De maneira geral, ao multiplicar um número complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu argumento aumenta de ^π/₂.

Em decorrência, ao multiplicarmos por i todos os pontos da região indicada, ela manterá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, (...).”

Obs.: esta é uma questão que verifica se o professor está utilizando os cadernos enviados pelo governo ou se está seguindo a proposta curricular do governo.

Fonte: São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Material de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo – Caderno do Professor de Matemática – Ensino Médio – 3° Ano. São Paulo: SEE, 2014. 

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