Um
dos cadernos do Professor para o 3° ano do Ensino Médio, da Secretaria de
Educação de São Paulo, discute algumas inovações curriculares para o ensino dos
números complexos: apresenta-se, por exemplo, a correspondência das operações
com números complexos com movimentos no plano de Argand Gauss.
Considere
a região triangular do plano complexo, indicada na figura. Cada ponto da região
é a imagem de um número complexo.
Se
cada ponto dessa região triangular for multiplicada pelo número imaginário z = 2i
conclui-se que a região triangular sofrerá uma rotação de
(A)
90°, correspondente a multiplicação por i,
e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto,
duplicada.
(B)
90°, correspondente a multiplicação por i,
e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto,
quadruplicada.
(C)
180°, correspondente a multiplicação por i,
e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto,
duplicada.
(D)
180°, correspondente a multiplicação por i,
e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto,
quadruplicada.
(E)
360°, correspondente a multiplicação por i,
e seus lados serão ampliados por meio do fator 2, tendo sua área, portanto
quadruplicada.
Solução: (B)
Segundo
o Caderno do Professor 3° ano do Ensino Médio Matemática (2.014, p.85):
“(...)
- quando se multiplica um
número real por –1, sua imagem na reta real é deslocada segundo um arco de
180º, passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N · (–1) =
–N (resultado: rotação de 180º);
- quando se multiplica um
número real por i2, ou
seja, por –1, é como se tivéssemos multiplicado o número real por i e multiplicássemos o resultado
novamente por i: N · (–1) = N · i · i = –N;
- se o resultado das duas
multiplicações idênticas e sucessivas foi uma rotação de 180º, seria natural considerar
o resultado de cada uma das multiplicações parciais por i como o resultado de uma rotação de 90º: N · i = Ni (rotação de
90º);
- assim, multiplicar um
número real por i corresponderia a
representar tal número em um eixo perpendicular ao eixo real.”
Segundo
o Caderno do Professor 3° ano do Ensino Médio Matemática (2.014, p.96):
“d) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 2.
Cada ponto da região
terá seu módulo multiplicado por 2; logo, a região será ampliada, tendo cada
segmento multiplicado por 2, e sua área multiplicada por 4. Como as distâncias de
cada ponto até a origem serão multiplicadas por 2, haverá uma translação (afastamento
da origem) com a ampliação.”
Segundo
o Caderno do Professor 3° ano do Ensino Médio Matemática (2.014, p.97):
“12.Considere a região do plano complexo, indicada na figura. Cada ponto
da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação.
Represente no plano complexo a região resultante após a multiplicação de cada
ponto da região pelo imaginário i.
De maneira geral, ao
multiplicar um número complexo z por
i, seu módulo permanece o mesmo, mas
seu argumento aumenta de π/2.
Em decorrência, ao
multiplicarmos por i todos os pontos da região indicada, ela manterá seu
tamanho, mas sofrerá uma rotação de 90º, (...).”
Obs.: esta é uma questão que
verifica se o professor está utilizando os cadernos enviados pelo governo ou se
está seguindo a proposta curricular do governo.
Fonte: São Paulo
(Estado) Secretaria da Educação. Material de apoio ao Currículo do Estado de São
Paulo – Caderno do Professor de Matemática – Ensino Médio – 3° Ano. São Paulo: SEE, 2014.
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